O Método da Redução de Ordem | Teoria, Fórmulas e Exemplos

O Método da Redução de Ordem é o dos garantidores de um dos fatores mais importantes no estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem: sempre que podemos construir uma solução a partir de uma outra solução conhecida.

Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma \dfrac{d^2y}{dt^2}=f\left(t,y,\dfrac{dy}{dt} \right), onde f é uma função dada.

Em geral, denotaremos a variável independente por t.

Uma EDO de segunda ordem é dita linear se f\left(t,y,\dfrac{dy}{dt} \right) = g(t) -p(t)\dfrac{dy}{dt}-q(t) y, isto é, se f é linear em y e y'.

Em geral, este tipo de equação será denotada por y'' + p(t) y'+q(t) y = g(t).

Com frequência encontramos a equação y'' + p(t) y'+q(t) y = g(t) escrita como P(t)y'' + Q(t) y'+ R(t) y = G(t).

Neste caso, basta dividirmos a equação toda por P(t). Isto é possível, pois P(t) \neq 0, caso contrário, a EDO não seria de segunda ordem.

Uma EDO linear de segunda ordem é dita homogênea se y'' + p(t) y'+q(t) y = 0 ou se P(t)y'' + Q(t) y'+ R(t) y = 0.

O Método da Redução de Ordem

O Método da Redução de Ordem nos dá um método para encontrar uma segunda solução particular, y_2(t), quando conhecemos a primeira solução y_1(t), de modo que ambas formem um conjunto fundamental de soluções.

Suponha que y_1 (t) é uma solução particular da equação $$a_2 (t) y” + a_1 (t) y’ + a_0 (t) y = 0.$$

O processo consiste em, dada uma solução particular y_1 (t) , usaremos ela para encontrar uma segunda solução y_2 (t) transformando a EDO $$a_2 (t) y” + a_1 (t) y’ + a_0 (t) y = 0$$ em uma EDO de primeira ordem.

Se definirmos y = u(t) y_1 (t) , segue-se que $$ y ‘ = u y’_1 + y_1 u’ $$ $$y” = u y”_1 + 2y’_1 u’ + y_1 u”$$.

Substituindo na EDO, encontramos uma nova equação $$y_1 u” + (2 y’_1 + a_1 y_1) u’ = 0$$ e fazendo u' = w obtemos $$y_1 w’ + (2 y’_1 + a_1 y_1) w = 0$$ que é uma EDO separável de primeira ordem cuja solução é dada por $$w = c_1 \frac{e^{- \int{a_1(t) dt} }}{y_1 ^2} .$$

Usando a relação u = \int{w(t) dt} obtemos $$u(t) = c_1 \int{\frac{e^{- \int{a_1(t) dt} }}{y_1 ^2} dt} + c_2$$ e, portanto, $$ y = u(t) y_1 (t) = c_1 y_1 (t) \int{\frac{e^{- \int{a_1(t) dt} }}{y_1 ^2} dt} + c_2 y_1 (t).$$ Escolhendo c_2 = 0 e c_1 = 1 , concluímos que uma segunda solução para a equação a_2 (t) y'' + a_1 (t) y' + a_0 (t) y = 0 é dada por y_2(t) = y_1(t) \int{u(t)}dt sendo u(t) = \frac{e^{-\int p(t)dt}}{y_1^2(t)}.

UMA FÓRMULA PARA O MÉTODO DA REDUÇÃO DE ORDEM

Ou seja, dada uma solução y_1(t) da equação y'' + p(t)y'+q(y)y=0, a outra solução será dada por y_2(t) = y_1(t) \int{u(t)}dt sendo u(t) = \frac{e^{-\int p(t)dt}}{y_1^2(t)}.

Vamos lançar mão de um exemplo para ilustrar o método.

EXEMPLO: Encontre a solução geral da EDO (1-t^2)y'' + 2ty'-2y=0, sabendo que uma solução particular da equação é dada por y_1(t) = t.

Temos que y'' + \frac{2t}{(1-t^2)} y'-\frac{2}{(1-t^2)}y=0, e que uma nova solução da EDO será y_2(t) = t \int{u(t)}dt com u(t) = \frac{e^{-\int{ \frac{2t}{(1-t^2)}}dt}}{t^2}= \frac{e^{ln{(1-t^2)}}}{t^2} = \frac{1-t^2}{t^2}.

Logo, y_2(t) = t \int\frac{1-t^2}{t^2} = t \left( \int \frac{1}{t^2}dt - \int dt \right) = t \left( -\frac{1}{t} - t \right) = -\left(1 +t^2 \right) é solução da EDO inicial.

Assim, vamos verificar se estas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções (para saber mais acesse esse outro nosso artigo):
W = -2t^2 + 1 +t^2 = 1 - t^2 \neq 0 para todo t \in (-1, 1).

Portanto, a solução geral da equação é dada por y(t) = c_1 t - c_2 \left(1 +t^2 \right).

EXEMPLO: Encontre a solução geral da EDO (1-2x-x^2)y'' + 2(1+x)y' - 2y = 0 .

Esta equação é homogênea, porém não tem coeficientes contantes e não se encaixa como uma EDO de Euler-Cauchy.

Desta forma precisamos encontrar uma solução particular diferente da solução trivial y (x) = 0. Olhando para os coeficientes, tentaremos encontrar uma y_1 (x) polinomial.

Observe que se y_1 (x) = a, então, substituindo na equação, obtemos -2a = 0 , o que nos leva à solução trivial y_1 (x) = 0. Portanto, não existe uma solução particular, exceto a trivial, que seja constante.

Agora, tentando uma solução particular y_1 (x) como um polinômio de primeiro grau y_1 (x) = ax +b encontramos $$ (1-2x-x^2)y” + 2(1+x)y’ – 2y = 0 \Rightarrow (1-2x-x^2) \times 0 + 2(1+x)\times a – 2\times (ax+b) = 0 \Rightarrow a =b,$$ ou seja, para qualquer valor de a, y_1 (x) = ax +a é uma solução particular da equação.

Por uma questão de simplicidade escolheremos y_1 (x) = x +1 .

Agora, usando o Método da Redução de Ordem encontraremos y_2 (x).

Para isso, precisamos reescrever a equação como $$ y” + \frac{2(1+x)}{(1-2x-x^2)}y’ – \frac{2}{(1-2x-x^2)}y = 0, $$ sendo $$p(x) =  \frac{2(1+x)}{(1-2x-x^2)} .$$ Assim, y_2(x) = y_1(x) \int{u(x)}dx = (x+1) \int{u(x)}dx sendo $$ u(x) = \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_1^2(x)} = \frac{e^{-\int \frac{2(1+x)}{(1-2x-x^2)} dx}}{(x+1)^2} = $$ $$ = \frac{e^{\mathrm{log}\left( -{x}^{2}-2\,x+1\right) } }{(x+1)^2} = \frac{-{x}^{2}-2\,x+1}{(x+1)^2}$$

Ou seja, $$ y_2(x) = (x+1) \int{\frac{-{x}^{2}-2\,x+1}{(x+1)^2}}dx =  $$ $$ = (x+1) \left(-\frac{2}{x+1}-x \right) = -x^2-x-2.$$

Portanto, como o Método da Redução de Ordem nos dá uma segunda solução particular que forma um CFS da equação, podemos dizer que a solução geral da equação é dada por:

$$y(x) = c_1 y_1 (x) + c_2 y_2(x) = c_1 (x+1) – c_2 (x^2+ x+2).$$

Método da Redução de Ordem – Lista de Exercícios Resolvidos:

Abaixo estão todas as nossas listas de exercícios resolvidos sobre o Método da Redução de Ordem para EDO’s Homogêneas de 2ª Ordem. Basta clicar no link em azul e ser redirecionado para a página dos exercícios:

• Método da Redução de Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

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• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: Equações Homogêneas
• Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem, Homogêneas, com Coeficientes Constantes
• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: Método dos Coeficientes Indeterminados
• Equações Diferencias Ordinárias de 2ª Ordem: O Princípio da Superposição
  

Vídeo-Aula Sobre O Método da Redução de Ordem: