Como Somar Matrizes? Um guia passo a passo com exemplos

As matrizes são uma ferramenta importante para a compreensão da matemática aplicada. Neste artigo trazemos o básico sobre a adição, ou soma, de matrizes de uma forma simples e direta.

Matrizes são um tipo de representação algébrica usada para organizar dados dispondo-os em linhas e colunas de números. As matrizes são usadas para descrever operações lineares em várias variáveis, resolver sistemas equações simultâneas e realizar operações estatísticas, como criar gráficos de dispersão de relações entre pontos de dados.

O que é uma matriz?

Uma matriz A, m \times n (lê-se: m por n), é uma tabela de m \cdot n números dispostos em m linhas e n colunas. Desta forma, representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes, ou ladeado a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais, do seguinte modo: $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$

Neste sentido, podemos estabelecer que a i- ésima linha de A é dada por $$\left[ \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \end{array} \right]$$para j = 1, . . . ,n e a j- ésima coluna de A é $$\left[ \begin{array}{cccc} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}\\ \end{array} \right] .$$ Dizemos que a_{ij} é o elemento ou a entrada de posição i,j da matriz A.

Indicaremos por \mathbb{M}_{m \times n} \left( \mathbb{R} \right) como o conjunto das matrizes reais de ordem m \times n. Se m = n, ao invés de \mathbb{M}_{n \times n} \left( \mathbb{R} \right) usa-se a notação \mathbb{M}_{n} \left( \mathbb{R} \right) .

Adição: Como Somar matrizes?

A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = \left[ a_{ij} \right]_{m×n} e B = \left[ b_{ij} \right] _{m×n} é definida como sendo a matriz m × n $$C_{m×n} = A_{m×n} + B_{m×n}$$ obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja, c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} , para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos também [A + B]_{ij} = a_{ij} + b_{ij}. A subtração é dada de forma análoga por [A - B]_{ij} = a_{ij} - b_{ij}.

Matricialmente, sendo $$ A = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] \text{  e  } B = \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right]$$  então a soma C = A + B será dada por $$ C_{m×n} = A_{m×n} + B_{m×n} = \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\\ \end{array} \right]  = $$ $$ = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12}& \ldots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22}& \ldots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}\\ \end{array} \right] $$

OBSERVAÇÃO: A operação de adição de matrizes é uma operação no conjunto \mathbb{M}_{m \times n } , que transforma o par (A,B) , de matrizes com as mesma dimensões, na matriz C = A + B que também terá a mesma dimensão de A e B .

EXEMPLOS:

1) C_{2} = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 3 \\ -3 & 0 \\ \end{array} \right]+ \left[ \begin{array}{cccc} 5 & 3 \\ -7 & 78 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 5 & 6 \\ -10 & 78 \\ \end{array} \right]

2) C_{2}= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 3 \\ -3 & 0 \\ \end{array} \right]- \left[ \begin{array}{cccc} 5 & 3 \\ -7 & 78 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} -5 & 0 \\ 4 & -78 \\ \end{array} \right] 

3) C_{4}= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 3 & 6 & 9\\ 6 & 1 & 23 & 6 \\ 0 & 567 & 0 & -9\\ 10 & -3 & 86 & 0 \end{array} \right]+ \left[ \begin{array}{cccc} 4 & 5 & 7 & -9\\ 5 & -47 & 4 & 32 \\ 9 & 2 & 0 & -9\\ 12 & -12 & -86 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cccc} 4 & 8 & 13 & 0 \\ 11 & -46 & 27 & 38 \\ 9 & 569 & 0 & -18 \\ 22 & -15 & 0 & 0 \end{array} \right]

4) A soma A + A^{T} = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 78 \\ 0 & 7 & 0 \\ \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 7 \\ 78 & 0 \end{array} \right] não é possível, pois o tamanho da matriz e sua transposta são diferentes. Em geral, a soma A + A^{T} só é possível se a matriz A for uma matriz quadrada.

Propriedades da Adição de Matrizes:

Sendo A e B e C matrizes m \times n, valem as seguintes propriedades.

1. A+B =B+A, a adição de matrizes é comutativa, ou seja, não importa a ordem da soma.
2. (A+B)+C=A+(B+C), ou seja, a soma de matrizes é associativa.
3. A+0=A, onde 0 representa a matriz nula. Esta propriedade garante a existência da matriz 0 \in \mathbb{M}_{m \times n } que é o elemento neutro da operação de adição neste conjunto. A matriz nula é aquela que possui somente zeros em suas entradas: $$ 0 = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \end{array} \right] .$$
4. A+(-A)=0, onde -A  é a matriz oposta de A e 0 representa a matriz nula. Esta propriedade garante a existência da matriz -A \in \mathbb{M}_{m \times n } que é o elemento oposto da operação de adição neste conjunto, dada uma matriz A \in \mathbb{M}_{m \times n } . É evidente que se $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] ,$$ então $$ -A = \left[ \begin{array}{cccc} -a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1n} \\ -a_{21} & -a_{22} & \ldots & -a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ -a_{m1} & -a_{m2} & \cdots & -a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$
5. (A+B)^{T} =A^{T} + B^{T}, onde o sobrescrito ^T indica que esta é a transposta da matriz dada. Logo, esta propriedade nos diz que a matriz transposta da soma de duas matrizes e a soma das suas transpostas.

EXEMPLO: Vamos determinar a matriz X_{3 \times 2}, tal que $$ \left[ \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & 1 \\ 4 & -2 \\ \end{array} \right] + X_{3 \times 2} = \left[ \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 4 & -3 \\3 & 2 \\ \end{array} \right]  $$

Considerando $$ X_{3 \times 2} = \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ e & f \\ \end{array} \right]  $$ temos que $$ a + 2 = 5 \\ b+3 = -1 \\ c-1 = 4 \\ d+1 = -3 \\ e +4 = 3 \\ f – 2 = 2.$$ Logo, $$ X_{3 \times 2} = \left[\begin{array}{cc} 3 &  -4 \\ 5 & -4 \\ -1 & 4 \\ \end{array} \right] .$$

Lista de Exercícios Resolvidos sobre Adição de Matrizes:

• Adição de Matrizes | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

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