Limite de Funções de Várias Variáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma segunda lista de exercícios sobre limites de campos escalares, ou seja, funções de várias variáveis a valores reais. Do limite de funções escalares temos as seguintes indeterminações: \frac{0}{0}, +\infty-(+\infty), -\infty-(-\infty), \ 0\cdot\infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0}, 1^{\infty}, 0^0, \infty^0. Em geral, no limite de funções de várias variáveis nos concentramos na indeterminação \dfrac{0}{0}. Para ler nosso artigo teórico sobre o limite para este tipo de função basta seguir este link.

2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Limite de Funções de Várias Variáveis

1) Calcule os limites abaixo

a) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (1,2)}{\left( 2xy + x^2 - \dfrac{x}{y}\right)}.

SOLUÇÃO: 

b) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{x^6}{(x^3 + y^2)^2}}.

SOLUÇÃO: 

c) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{x+y-1}{\sqrt{x} - \sqrt{1-y}}}.

SOLUÇÃO:  

d) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{|x| + |y|}{x^2 + 5 y^2}}.

SOLUÇÃO: 

e) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{sen(xy)}{(x^2 + y^2)}}.

SOLUÇÃO:  

f) \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (+ \infty,+ \infty)}{e^{\frac{1}{x+y}}}.

SOLUÇÃO: 

g) \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\dfrac{sen(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}}

SOLUÇÃO: 

2) Calcule, se possível, o limite $$\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2} }$$

SOLUÇÃO: Fazendo x = \alpha t e y = \beta t , obtemos  \begin{eqnarray} \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2} } & = & \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^4 \alpha^2 \beta^2}{t^4 \alpha^2 \beta^2 + t^2 (\alpha – \beta)^2} } \\ & = & \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + (\alpha – \beta)^2} }. \end{eqnarray}

Observe que se \alpha \neq \beta então podemos aplicar o limite: $$ \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + (\alpha – \beta)^2} } = \frac{0}{0 + (\alpha – \beta)^2} =0.$$ Todavia, se \alpha = \beta então encontraremos um valor diferente para o nosso limite: $$ \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + (\alpha – \beta)^2} } = \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2 + 0^2} } = \lim\limits_{t \rightarrow 0}{\frac{t^2 \alpha^2 \beta^2}{t^2 \alpha^2 \beta^2} } = \lim\limits_{t \rightarrow 0}{1 } = 1 .$$ Portanto, este limite não existe.

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