Integrais de Linha – 5 Exercícios de Prova de Cálculo Resolvidos

Introdução

Exercício 1

Calcule $$\int_{C}{(x^2 + y^2)ds}$$ onde C é a parte da circunferência x^2 + y^2 = 1, percorrida no sentido horário do ponto (0,1) ao ponto (1,0) .SOLUÇÃO:

Exercício 2

Mostre que $$\int_{C}{\left( xyz dx + [y-z]^2dy + 2zx dz \right)} = \frac{85}{84},$$ onde C é a curva C: \vec{r}(t) = (t,t^2,t^3) de (0,0,0) a (1,1,1) .

1. dx = \frac{dx}{dt} \, dt = dt ,
2. dy = \frac{dy}{dt} \, dt = 2t \, dt e
3. dz = \frac{dz}{dt} \, dt = 3t^2 \, dt .

• Para o termo xyz \, dx : xyz \, dx = t^6 \, dt
• Para o termo (y - z)^2 \, dy : (y - z)^2 \, dy = (t^2 - t^3)^2 \cdot 2t \, dt = (t^4 - 2t^5 + t^6) \cdot 2t \, dt = 2t^5 - 4t^6 + 2t^7 \, dt
• Para o termo 2zx \, dz : 2zx \, dz = 2t^3 \cdot t \cdot 3t^2 \, dt = 6t^6 \, dt

Exercício 3

Calcule a integral $$\int_{C}{\left[ \left( 3x^2e^y – x^2y – \frac{y^3}{3} \right) dx + \left( x^3e^y + \cos(y) \right) dy \right]}$$ onde C é a circunferência x^2 + y^2 = 1 , percorrida no sentido anti-horário. Teorema de Green no Plano

Exercício 4

Mostre que a fórmula do Teorema de Green no plano podem ser escrita na forma $$ \iint_{R}{div(\vec{v}) dxdy} = \int_{C}{\vec{v} \cdot \vec{n} ds}$$ onde \vec{n} é o vetor normal unitário a C e s é o comprimento de arco de C .Solução:

Exercício 5

Calcule $$ \oint_{C}{\left( xdx -zdy+2ydz \right)}$$ onde C é o triângulo que sai de (0,0,0) , na direção de (1,1,0) e, em seguida, para (1,1,1) e volta para (0,0,0) .Solução:  

Conclusão

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