A Função Logarítmica Complexa | Funções Analíticas Complexas

O logaritmo natural de um número complexo z=x+iy é denotado por \ln{(z)} ou \text{log}{(z)} é definido com o inversa da função exponencial, ou seja, w=\ln{z} \Leftrightarrow e^{w} = z, \forall z \neq 0. Se colocarmos acima w=u(r, \theta )+iv (r, \theta ) e z=re^{i\theta}, temos que e^w = e^{u+iv} = e^{u} e^{iv} = r e^{i \theta}.

Observe que, $$\left| e^{u+iv} \right| = \left| e^{u}(\cos{v})+i\sin{v} \right| = e^u $$ e $$Arg{z} = \arctan{\left(\frac{e^u \cos{v}}{e^u \sin{v}}\right)} = \arctan{(\tan{v})} = v,$$ logo r=e^u \rightarrow u = \ln{r} e \theta = v que nos leva a $$\ln{z} = u(r, \theta )+iv (r, \theta ) = \ln{r} + i\theta = \ln{\sqrt{x^2 +y^2}} + i Arg(x+iy).$$ o que motiva a definição abaixo.

DEFINIÇÃO (Logaritmo de um número complexo): o logaritmo de um número complexo z=re^{i\theta} \neq 0, é definido da seguinte maneira $$\log{z} = \log{r} + i \theta,$$ onde \log{r} denota o logaritmo real do número r>0 e 2k \pi \leq \theta \leq 2(k+1)\pi. Costuma-se utilizar a notação \ln{z} para denotar o logaritmo de z.

O que é Valor Principal do Logaritmo de um Número Complexo?

Para k=0, obtemos o que chamamos de valor principal, ramo principal, ou determinação principal do logaritmo. Ou seja, o valor de \ln{(z)} corresponde ao valor principal do argumento de z , ou seja, $$ – \pi < Arg (z) \leq \pi$$ é chamado de valor principal de \ln{(z)} e é denotado por \text{Ln}(z) .

Obviamente, os outros valores de \ln{(z)} são dados pela forma $$ \ln{(z)} = \text{Ln}(z) \pm 2 n \pi i \qquad (n=1,2,3,4,…);$$ todos eles possuem a mesma parte reais, e suas partes imaginárias diferem pelos múltiplos de 2 \pi , em acordo com o fato de que e^{z} é periódica e com período imaginário igual a 2 \pi i .

Ainda, se x é um número real positivo, o valor principal do argumento de z é igual a zero, e o valor principal de \text{Ln}(z)   é idêntico com o logaritmo do número rela conhecido do estudo das funções elementares. Se z é um número real negativo, o valor principal do argumento de z é \pi , e assim $$ \text{Ln} (z) = \ln{|z|} + \pi i .$$

EXEMPLO: Vamos calcular \ln{i}. Temos que r = |i| = 1 e Arg{i} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi com n \in \mathbb{Z}. Assim, $$\ln{i} = \ln{1} + i \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right) = i \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right) $$

EXEMPLO: 

1.   \ln{(-1)} = \pm \pi i , \pm 3 \pi i, \pm 5 \pi i, ... com valor principal dado por $$\text{Ln}(-1) = \pi i .$$
2.   \ln{(i)} = \frac{ \pi }{2} i , - \frac{3 \pi }{2}  \pi i, \frac{ 5 \pi }{2} \pi i, ... com valor principal dado por $$\text{Ln}(i) = \frac{ \pi }{2} i .$$
3. \text{Ln}(-i) = - \frac{ \pi }{2} i
4. \text{Ln}(-2-2i) = \ln{\sqrt{8}} - \frac{ 3 \pi }{4} i

ALGUMAS PROPRIEDADES DO LOGARITMO DE UM NÚMERO COMPLEXO

As propriedades familiares para o logaritmo real continua valendo para o logaritmo complexo, ou seja,

1. \ln{(z_1 z_2)} = \ln{z_1}+\ln{z_2}
2. \ln{(z_1 / z_2)} = \ln{z_1} - \ln{z_2}
3. \ln{z^n} = n \ln{z}

A Função Logarítmica complexa

Podemos definir a função logarítmica complexa como a função que associa cada complexo z ao logaritmo \ln{(z)}. Esta função está definida para todo complexo z \neq 0 e se reduz à função logarítmica real quando \theta = 0 .

Na realidade, a fórmula acima permite atribuir ao logaritmo vários valores distintos, dependendo do argumento usado para o número z . Por causa disso, costuma-se dizer que a função logarítmica complexa é uma função multivalente.

Obviamente, o valor de uma função tem de ser determinado univocamente e para estabelecer isso podemos associar a cada z o valor principal \text{Ln}(z). Com esta definição podemos estabelecer um desenvolvimento em série de potências para esta função, similar àquela que fazemos para a função logarítmica real, dada por $$ \text{Ln} \left(1 + z \right) = z – \frac{z^2}{2}+ \frac{z^3}{3} – … + \qquad (|z| <1 ).$$

Substituindo z por - z e multiplicando ambos os lados por -1, nós temos $$ -\text{Ln} \left(1 – z \right) = \text{Ln} \left(\frac{1}{1 – z} \right) = z + \frac{z^2}{2}+ \frac{z^3}{3} + …  \qquad (|z| <1 )$$ e somando ambas as séries encontramos  $$\text{Ln} \left(\frac{1+z}{1 – z} \right) = 2 \left[ z + \frac{z^3}{3}+ \frac{z^5}{5} + … \right]  \qquad (|z| <1 )$$

A Função Logarítmica Complexa é Analítica?

Desde que o valor principal de \ln{(z)}, dado por \text{Ln} (z), (z \neq 0 ) , é uma função injetora, então ela será analítica no domínio - \pi < Arg (z) < \pi do plano de Argand, ou seja, em todos os pontos exceto nos pontos com parte real negativa sobre o eixo real.

Agora, vamos verificar a analiticidade de f(z) = \log{z}. Temos que $$u(r, \theta) = \log{r}\;\;\;v(r,\theta) = \theta.$$ Pelas equações de Cauchy-Riemann na forma polar temos que $$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} = \frac{1}{r} . 1 = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}$$ e $$\frac{\partial v}{\partial r} = 0 = -\frac{1}{r}. 0 = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}.$$

Portanto, f(z) = \log{z} é analítica.

Qual é a Derivada da Função Logarítmica Complexa?

 Sendo f(z) = \log{z} analítica, vamos determinar f'(z).

Temos que \begin{eqnarray} \ln{z} & = & \ln{r} + i \theta \\ & = & \ln{\sqrt{x^2+y^2}} + i \arctan{\left( \frac{y}{x} + 2 n \pi \right)} \\ & = & \frac{1}{2}\ln{(x^2+y^2)} + i \left[ \arctan{\left(\frac{y}{x} \right)} + 2 n \pi \right].\end{eqnarray} Logo, $$u(x,y) = \frac{1}{2}\ln{(x^2+y^2)}$$ e $$v(x,y) = \left[ \arctan{\left(\frac{y}{x} \right)} + 2 n \pi \right]$$ e
\begin{eqnarray*}
f'(z) & = & \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{1}{2}\ln{x^2+y^2} \right) + i \frac{\partial}{\partial x}\left(\arctan{\left(\frac{y}{x} \right)} + 2 n \pi \right)\\
& = & \frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{-y}{x^2+y^2}\\
& = & \frac{\bar{z}}{|z|^2}\\
& = & \frac{\bar{z}}{\bar{z} z}\\
& = & \frac{1}{z}\\
\end{eqnarray*}

A Potenciação com Expoentes Complexos

DEFINIÇÃO: Dados os complexos z\neq 0 e \alpha definimos $$z^{\alpha} = \exp{(\alpha \ln{z})}.$$ Como existem infinitos valores para \ln{z}, consequentemente, z^{\alpha} também será multivariável.

Em particular, se Ln(z) é o valor principal do logaritmo, então z^{\alpha} = \exp{(\alpha Ln(z))} é chamado de valor principal de z^{\alpha}.

Se \alpha = n = 1,2,... , então z^n é uma função injetora e com valor idêntico à n-ésima potência de z .  Se \alpha  = -1,-2,... teremos uma situação similar. Agora, se \alpha = 1/n; n = 1,2,... ,  então $$z^{ \alpha} = \sqrt[n]{z} = e^{(1/n) \ln{(z)}}, \qquad (z \neq 0 ) .$$ e o expoente é determinado para os múltiplos de \dfrac{2 \pi i }{n} , e obtemos os n distintos valores das n-ésimas raízes estudadas na radiação de números complexos, o mesmo acontecendo quando \alpha = m/n; m,n \in \mathbb{N} . Agora, se \alpha é um número irracional ou genuinamente complexo, então z^{\alpha} possui infinitos valores.

Com isso, podemos definir a função exponencial generaliza complexa como $$a^z = e^{z \ln{a}}; \qquad a \in \mathbb{C}.$$

EXEMPLO: Vamos calcular i^i. $$i^i = e^{i\ln{i}} = \exp{\left[ i i \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right) \right]} = \exp{\left[- \left( \frac{\pi}{2} + 2n\pi \right)\right]}.$$ Cujo valor principal é dado quando n=0, ou seja, o valor principal de i^i = \exp{\left( -\frac{\pi}{2} \right)}.

Se fixamos um valor de n na definição do logaritmo de z, z^{\alpha} se torna uma função analítica. E assim, pela regra da cadeia, $$(z^{\alpha})’ = \left( \exp{(\alpha \ln{z})} \right)’ = \exp{(\alpha \ln{z})}(\alpha \ln{z})’ = \exp{(\alpha \ln{z})} \frac{\alpha}{z}= $$ $$ =\exp{(\alpha \ln{z})} \frac{\alpha}{\exp{(\ln{z})}} = \alpha \exp{[(\alpha -1)\ln{z}]} = \alpha z^{\alpha -1}$$

As Funções Trigonométricas Inversas Complexas

As funções inversas das funções trigonométricas exprimem-se facilmente em termos do logaritmo. Consideremos, por exemplo, a função $$w = \text{arc cos}(z), $$ definida por $$z = \text{cos}(w),$$ ou seja, $$z = \frac{e^{iw} + e^{-iw}}{2}. $$ Multiplicando por e^{iw} , reduzimos esta equação à forma $$ \left( e^{iw} \right) ^2 – 2 z \left( e^{iw} \right) +1 = 0 , $$ donde $$ \left( e^{iw} \right) = z + \sqrt{z^2 -1 }$$ e, finalmente, $$ w = \text{arc cos}(z) = -i \log{z+ i \sqrt{1-z^2}}.$$

Temos aqui uma função multivalente, cujos ramos particulares são obtidos considerando ramos particulares de \sqrt{z^2 -1 } e do logaritmo que aí aparece. A derivada da função \text{arc cos}(z) pode ser calculada facilmente a partir da expressão acima, com a ajuda da regra da cadeia. Temos $$ \left[ \text{arc cos}(z) \right]’ = -i \frac{\left[ z + \sqrt{z^2 -1 } \right]’}{z + \sqrt{z^2 -1 }} = \frac{-1}{\sqrt{1 – z^2}}.$$

Por um raciocínio análogo podemos mostrar que:

1.   \text{arc sen}(z) = - i \log{iz+ \sqrt{1-z^2}} e que $$ \left[ \text{arc sen}(z) \right]’ = \frac{1}{\sqrt{1 – z^2}}.$$

2.   \text{arc tg}(z) = -\frac{i}{2} \log{\dfrac{i+z}{i-z} } e que $$ \left[ \text{arc tg}(z) \right]’ = \frac{1}{1 + z^2}.$$

As demais funções inversas, trigonométricas e hiperbólicas, são obtidas de maneira análoga e são deixadas como exercício

Leia Mais:

• Funções Analíticas Complexas | A Função Exponencial
• Funções Analíticas Complexas | Funções Trigonométricas e Hiperbólicas
• Variáveis Complexas | Diferenciabilidade e Funções Analíticas
• Funções de Variáveis Complexas | Uma Introdução.

Referências Bibliográficas:

1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. ÁVILA, Geraldo S. S. Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
3. ZILL, Dennis G. “Curso Introdutório à Análise Complexa com Aplicações”. 2ª edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011