E.D.O.’s de 1ª Ordem Separáveis – Lista de Exercícios para o Cálculo 3

Descubra como dominar Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) Separáveis de 1ª Ordem com nossa lista de exercícios detalhada. Este guia passo a passo oferece uma visão abrangente, desde fundamentos teóricos até exemplos práticos resolvidos, facilitando o aprendizado e a aplicação do conceito.

Introdução

As Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) de 1ª Ordem Separáveis representam um pilar fundamental no estudo avançado da matemática, especialmente no Cálculo 3. Essas equações, caracterizadas pela possibilidade de separar as variáveis envolvidas, permitem uma abordagem simplificada para encontrar soluções específicas.

Este artigo se propõe a ser um recurso indispensável para estudantes e entusiastas da matemática, oferecendo uma lista de exercícios cuidadosamente selecionados que abordam desde os conceitos básicos até aplicações mais complexas das E.D.O. separáveis.

A habilidade de resolver essas equações não apenas aprofunda o entendimento teórico dos estudantes, mas também equipa-os com ferramentas práticas para enfrentar problemas reais em diversas áreas da ciência e engenharia.

Ao explorar este artigo, os leitores serão introduzidos aos princípios fundamentais das equações separáveis, acompanhados de exemplos resolvidos que demonstram passo a passo o processo de separação de variáveis, integração e aplicação das condições iniciais para encontrar soluções únicas e precisas.

Além disso, o artigo enfatiza a importância do teorema da existência e unicidade, garantindo que, sob certas condições, as soluções encontradas não são apenas matematicamente válidas, mas também aplicáveis a situações reais.

Com uma combinação de teoria robusta e prática direcionada, este recurso é projetado para promover uma compreensão profunda e intuitiva das E.D.O. de 1ª Ordem Separáveis, preparando os leitores para superar desafios matemáticos com confiança e competência.

• Veja nossa lista dos 5 Melhores Livros para Aprender Equações Diferenciais Sozinho

Fundamentação Teórica da E.D.O.’s Separável

No caso geral da EDO separável, podemos escrevê-la como $$ \frac{dy}{dt}=\frac{g(t)}{f(y)} \Leftrightarrow f(y) \frac{dy}{dt} = g(t).$$ Supondo que y = h(t) é uma solução para a EDO separável, temos que, pela integração por substituição, $$ f(h(t))h'(t) = g(t) \Leftrightarrow \int{f(h(t)) h'(t) dt} = \int{g(t)dt} +c \Leftrightarrow \int{f(y) dy} = \int{g(t)dt} +c $$

A equação acima indica o procedimento na resolução para as equações diferenciais separáveis. Uma família a um parâmetro de soluções, em geral deduzida implicitamente, é obtida integrando ambos os lados de f(y) dy = g(t) dt .

Uma observação importante é quanto ao fato de não ser necessário tentar resolver y como função de t, ou seja, não é necessário, à priori, apresentar uma solução explícita do problema.

Lista de Exercícios Sobre E.D.O.’s de 1ª Ordem Separáveis

1. A equação $$y’ + a(t)y = 0 $$ é chamada de homogênea de 1ª ordem. Encontre uma solução para esta equação.
2. Resolva a equação $$ \frac{dy}{dt} + 2ty = 0.$$
3. Determine o comportamento, enquanto t \rightarrow \infty , de todas as soluções da equação $$y’ + ay = 0 $$$ sendo a uma constante real.
4. Encontre a solução dos P.V.I.’s abaixo $$ a) y’ + \text{sen}(t) y = 0; \qquad y(0) = 3/2 \\ b) y’ + e^{t^2} y = 0; \qquad y(1) = 2.$$

Conclusão

Dominar as Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.) Separáveis de 1ª Ordem é essencial para qualquer estudante de matemática avançada. Este artigo, com sua lista abrangente de exercícios, não apenas reforça o entendimento teórico, mas também aprimora a habilidade prática de resolver tais equações.

Ao se engajar com os exemplos resolvidos e explorar as soluções propostas, os leitores ganham uma base sólida, permitindo-lhes aplicar esses conceitos em contextos acadêmicos e profissionais.

Pratique a solução de equações diferenciais separáveis com as listas de exercícios abaixo:

• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• EDO’s de 1ª Ordem Separáveis | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Livros indicados para o estudo das equações diferenciais separáveis:

Abaixo seguem os livros que te permitirão aprofundar os fundamentos e exemplos para dominar o conceito das equações diferenciais ordinárias separáveis. Basta clicar nos links em azul para ser redirecionado para a página do livro.

1. GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
2. BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002
3. BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.
4. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.

Assista nossa vídeo-aula sobre equações diferenciais separáveis

Leia Mais:

• Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem.
• Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem Exatas.
• Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem: Ricatti e Bernoulli
• Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem: Substituições