Equação Integral de Volterra | Convolução e Transformada de Laplace

No século XX, o matemático italiano Vito Volterra introduziu as equações integro-diferenciais em seu estudo de crescimento populacional, sendo este seu trabalho mais relevante. As equações integrais permitiram que ele considerasse as “influências hereditárias” em sua modelagem populacional.

Volterra publicou em 1896 artigos sobre o tema, que ficou conhecido como Equações Integrais de Volterra e em diversos casos envolviam uma convolução. O teorema da convolução para Transformadas de Laplace então se tornaram úteis para resolver tipos de equações em que uma função não conhecida aparece sob um sinal de integração.

Neste artigo vamos trabalhar com exemplos na forma $$f(t) = g(t) + \int\limits_{0}^{t}{f(\tau ) h (t – \tau ) d \tau}$$ para f(t) . As funções g(t) e h(t) geralmente são funções conhecidas no problema e queremos descobrir uma função f(t) que satisfaça a integral.

Exemplo (Resolvendo uma equação integral de Volterra)

Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver a equação $$f(t) = 3t^2 – e^{-t} – \int\limits_{0}^{t}{f(\tau ) e^{ (t – \tau )} d \tau}.$$ Observando que $$\int\limits_{0}^{t}{f(\tau ) e^{ (t – \tau )} d \tau} = f(t) \ast e^{t}.$$

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usando o teorema da convolução, \begin{eqnarray} \mathscr{L}\{ f(t) \} & = & 3 \mathscr{L}\{ t^2 \} – \mathscr{F}\{ e^{-t} \} – \mathscr{L}\{ f(t) \ast e^{t} \} \\ F(s) & = & 3 \times \frac{2}{s^3} – \frac{1}{s+1} – F(s) \times \frac{1}{s-1}\\ \left[ 1 + \frac{1}{s-1} \right] F(s) & = & 3 \times \frac{2}{s^3} – \frac{1}{s+1} \\ \frac{s}{s-1} F(s) & = & 3 \times \frac{2}{s^3} – \frac{1}{s+1} \\ F(s) & = & \frac{6 (s-1)}{s^4} – \frac{s-1}{s(s+1)} \end{eqnarray}

Usando Frações Parciais obtemos $$ F(s)= \frac{6}{s^3} – \frac{6}{s^4}+ \frac{1}{s} – \frac{1}{s+1}$$ e, portanto, a solução da equação integral é dada por \begin{eqnarray} \mathscr{L}^{-1}\{ F(s) \} & = &  \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{6}{s^3} \right\}  – \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{6}{s^4} \right\} + \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s} \right\} – \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{2}{s+1} \right\}\\ f(t) & = &  3 \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{2!}{s^3} \right\}  – \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{3!}{s^4} \right\} + \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s} \right\} – 2 \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s+1} \right\}\\ f(t) & = & 3 t^2 – t^3+1 -2e^{-t} \end{eqnarray}

Exemplo (Resolvendo uma equação integro-diferencial)

Agora, vamos resolver a equação integro-diferencial $$ y'(t) = 1 – \int\limits_{0}^{t}{y (t – \tau ) e^{ – 2 \tau} d \tau}; \qquad y(0) = 1.$$ Observe que esta equação pode ser escrita como $$y'(t) = 1 – y(t) \ast e^{-2t}.$$ Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação e considerando \mathscr{L}\{ y(t) \} = Y(s) encontraremos, \begin{eqnarray} sY(s) – 1 & = & \frac{1}{s} – Y(s) \left( \frac{1}{s+2} \right)\\ sY(s)+ \left( \frac{1}{s+2} \right) Y(s) & = & 1+\frac{1}{s} \\ \left( \frac{s^2 + 2s +1}{s+2} \right) Y(s) & = & \frac{s+1}{s} \\ Y(s) & = & \frac{(s+1)(s+2)}{s(s+1)^2} = \frac{(s+2)}{s(s+1)} \\ Y(s) & = & \frac{2}{s} – \frac{1}{s+1} \end{eqnarray}

Logo, $$y(t) =   \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{2}{s} \right\} – \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{s+1} \right\},$$ portanto, $$ y(t) = 2 – e^{-t}.$$

Quem Foi Volterra?

Vito Volterra foi um matemático italiano que influenciou fortemente o desenvolvimento moderno do cálculo. Foi nomeado professor de mecânica racional em Pisa em 1883, ano em que começou a elaborar uma teoria geral da análise funcional (funções que dependem de um conjunto contínuo de valores de outra função).

Este conceito levou ao desenvolvimento de novos campos de análise, incluindo importantes aplicações para a solução de equações integrais e diferenciais. A importante ideia de integrais harmônicas deriva essencialmente de seu cálculo funcional.

Ele também aplicou seus métodos analíticos com bons resultados à ótica, eletromagnetismo e elasticidade e à teoria das distorções. Embora tivesse mais de 55 anos, ingressou na força aérea italiana durante a Primeira Guerra Mundial e ajudou a desenvolver dirigíveis como armas de guerra. O primeiro a propor o uso de hélio no lugar do hidrogênio em aeronaves, ele ajudou a organizar a fabricação de hélio na Itália.

Após a guerra Volterra dedicou sua atenção à biologia matemática. Desconhecido para ele, muito de seu trabalho duplicou o de pesquisadores anteriores, mas chamou a atenção dos matemáticos para o campo. Seus modelos matemáticos abstratos de processos biológicos (como sistemas predador-presa) encontraram muitas analogias na ciência física.

Volterra se opôs ao fascismo desde o início. Em 1931, ele se recusou a prestar o juramento de lealdade ao governo de Benito Mussolini e foi forçado a deixar a Universidade de Roma. No ano seguinte, ele foi obrigado a renunciar a todas as academias científicas italianas. Suas obras completas, “Obras Matemáticas: Memórias e Notas”, foram publicadas em cinco volumes entre 1954 e 1962.

Leia Mais:

• Transformada de Laplace e a Convolução | Lista de Exercícios Resolvidos
• Solucionando Eq. Diferenciais Ordinárias Via Transformada de Laplace
• Equações Diferenciais | Introdução aos Conceitos Básicos
• Mileva Maric | A Coautora da Teoria da Relatividade Especial?

Referências Bibliográficas:

Vídeo-Aula do canal sobre Equações Integrais de Volterra

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