A Equação de Weber: Solução de E.D.O.’s por Séries de Potências

A Equação de Weber é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e com coeficientes variáveis, resultado da separação de variáveis para a Equação de Laplace em coordenadas parabólicas.

A equação de Weber é dada por $$y” + \left( p + \frac{1}{2} – \frac{x^2}{4} \right) y = 0 \qquad (1) $$ onde p é um número real dado. Neste artigo iremos buscar uma solução desta equação diferencial usando a técnica das séries de potências.

Heinrich Weber (1842 – 1913) foi um matemático alemão que estudou mais precisamente álgebra e teoria dos números, mas também se dedicou à análise em dado momento, principalmente quanto as suas aplicações à física. A equação (1) foi primeiramente abordada por ele no estudo da teoria potencial em conexão com o cilindro parabólico e tem ligações com a equação de Whittaker.

Mudança de Variável na Equação de Weber

As soluções da equação (1) são conhecidas como funções de Weber-Hermite. Em particular, se p é um número inteiro não-negativo, a equação (1) é satisfeita pela função $$y = e^{-x^2/4}H_{p}(x), $$ onde H_{p}(x) é um polinômio de Hermite.

Até por isso, para iniciarmos a busca pela solução da Equação de Weber vamos fazer a substituição $$y = e^{-\frac{x^2}{4}} u(x). $$ Observe que, neste caso, $$ y” = e^{-x^2/4} \left[u” – x u’ + \left( \frac{x^2}{4} – \frac{1}{2}\right) u \right]. $$ Agora, fazendo esta mudança de variável na equação (1) encontramos $$u” – xu’+pu = 0, \qquad (2)$$ onde p \in \mathbb{R} .

Um caso particular motivador da equação (2)

Observe que se p =0 , então a equação (2) fica $$ u” – x u’ = 0, \qquad (3)$$ que é facilmente solucionada usando técnicas simples para soluções de E.D.O.’s lineares de primeira ordem após usarmos a mudança de variável z = u' . Com isso, encontramos como solução de (3) $$u(x) = c_1 \int{e^{-x^2/2}dx}+c_2 ,$$ o que não é uma boa solução analítica. Mesmo assim, usando métodos numéricos podemos encontrar  boas aproximações em aplicações.

Observe que a equação (3) pode ser facilmente resolvida usando séries de potências, em torno de x = 0 . De fato, fazendo $$ u = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}$$ encontramos $$ u’ = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n a_n x^{n-1}} \qquad \text{e} \qquad u” = \sum\limits_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}}$$ e substituindo em (3) podemos encontrar a fórmula de recorrência $$a_2 = 0, \qquad a_{s+2} = \frac{s}{(s+1)(s+2)}a_s .$$

Partindo desta fórmula, encontramos que $$ a_{2k} = 0; \qquad \forall k = 1,2,3,4,5,… $$ e que $$a_{2k+1} = \frac{(2k-1)(2k-3)}{(2k+1)!} a_1$$ o que nos leva à solução de (3) dada por $$u(x) = a_0 + a_1 \left[ \frac{1}{3!} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{(2n-1)(2n-3)}{(2n+1)!} x^{2n+1}} \right].$$

Enfim, solucionando a Equação de Weber

Agora, vamos retomar a equação (2), dada por $$u” – xu’+pu = 0$$ e resolve-la usando a mesma abordagem por as series de potências, mas agora considerando p um número real qualquer. Esta forma de solução possui convergência garantida por teoremas enunciados neste artigo.

Novamente considerando $$ u = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}$$ e substituindo em (2), obtemos, $$ u” – xu’+pu = \sum\limits_{n=2}^{\infty}{(n-1)n a_n x^{n-2}} – \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n a_n x^n} + p \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} = 0.$$

Fazendo n = s+2 na série referente à segunda derivada e n = s nas demais séries, encontramos $$u” – xu’+pu = \sum\limits_{s=0}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} – \sum\limits_{s=1}^{\infty}{s a_s x^s} + p \sum\limits_{s=0}^{\infty}{a_s x^s} = \\ 2 a_2 + \sum\limits_{s=1}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} – \sum\limits_{s=1}^{\infty}{s a_s x^s} + a_0 p + p \sum\limits_{s=1}^{\infty}{a_s x^s} = 0,$$ donde podemos encontrar $$ 2 a_2 + a_0 p + \sum\limits_{s=1}^{\infty}{\left[ (s+2)(s+1) a_{s+2} + (p\; – s) a_s \right]x^{s}} = 0.$$

Daí, precisamos que $$ 2a_2 +a_0 p = 0 \qquad \text{e} \qquad (s+2)(s+1) a_{s+2} + (p\; – s) a_s = 0.$$ Ou seja, obtemos a fórmula de recorrência $$a_2 = -\frac{p}{2} a_0; \qquad a_{s+2} =\; – \; \frac{p-s}{(s+2)(s+1)}a_s, \text{ se } s=1,2,3,4,… $$ que nos leva a

e, assim, sucessivamente.

Logo, $$u(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} = a_0 + a_1 x -\frac{p}{2} a_0 x^2 – \frac{p-1}{3!} a_1 x^3 +\\ + \frac{(p-2)p}{3!} a_0 x^4 + \frac{(p-3)(p-1)}{5!} a_1 x^5 – \\ – \frac{(p-4)(p-2)p}{6!} a_0 x^6 – \frac{(p-5)(p-3)(p-1)}{7!} a_1 x^7 + … = \\ = a_0 \left( 1 -\frac{p}{2} x^2 + \frac{(p-2)p}{3!} x^4 – \frac{(p-4)(p-2)p}{6!} x^6 + … \right) + \\ + a_1 \left( x –  \frac{p-1}{3!} x^3 + \frac{(p-3)(p-1)}{5!} x^5 – \frac{(p-5)(p-3)(p-1)}{7!} x^7 + … \right).$$

Desta forma, podemos concluir que $$u_1 (x) = 1 -\frac{p}{2} x^2 + \frac{(p-2)p}{3!} x^4 – \frac{(p-4)(p-2)p}{6!} x^6 + … $$ e $$u_2 (x) = x –  \frac{p-1}{3!} x^3 + \frac{(p-3)(p-1)}{5!} x^5 – \frac{(p-5)(p-3)(p-1)}{7!} x^7 + … $$ são as soluções particulares que formam um conjunto fundamental de soluções da equação (2).

A convergência das séries de u_1 (x) e u_2 (x) são garantidas pelo teorema abaixo, cuja demonstração requer técnicas avançadas de análise que estão fora do objetivo e do nível deste artigo:

Teorema: Se as funções f,g e r na equação diferencial $$y” +f(x)y’+g(x)y = r(x) $$ são analíticas em x=a, então cada solução y(x) desta equação é analítica em x=a e pode ser representada por uma série de potências de x-a com raio de convergência R>0.

Por fim, vamos lembrar que a solução da Equação de Weber é dada por $$y = e^{-\frac{x^2}{4}} u(x) = e^{-\frac{x^2}{4}} \left[ a_0 \left( 1 -\frac{p}{2} x^2 + \frac{(p-2)p}{3!} x^4 – \frac{(p-4)(p-2)p}{6!} x^6 + … \right) + \\ + a_1 \left( x –  \frac{p-1}{3!} x^3 + \frac{(p-3)(p-1)}{5!} x^5 – \frac{(p-5)(p-3)(p-1)}{7!} x^7 + … \right) \right].$$ Como $$ \lim\limits_{x \rightarrow \infty }{e^{-\frac{x^2}{4}}} = 0 $$ podemos garantir a convergência da série.

Os Polinômios de Hermite

Note que se p = 0,2,4,6,8,... em u_1 (x) , então esta solução será na forma polinomial. De fato,

Analogamente, se p = 1,3,5,7,9,... em u_2 (x) , então esta solução será, também, na forma polinomial. De fato,

Estes polinômios, cada um multiplicado pela constante tal que o coeficiente do termo de maior grau seja 1, são chamado de de polinômios de Hermite e são denotados por H_0(x), H_1(x), H_2(x), ... , ou seja, $$H_0(x) = 1 $$ $$H_1(x) = x$$ $$H_2(x) = 1-x^2$$ $$H_3(x) = x-\frac{1}{3}x^3$$ $$H_4(x) = 1-2x^2+ \frac{1}{3} x^4$$ $$ H_5(x) = x-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{15}x^5$$ $$\vdots$$ Este nome se deve ao matemático francês Chales Hermite (1822 -1901), mais conhecido por seus trabalhos em álgebra e teoria dos números.

Isso justifica o fato de que, como dito anteriormente, as soluções da Equação de Weber são conhecidas como funções de Weber-Hermite, e que, em particular, se p é um número inteiro não-negativo, a Equação de Weber é satisfeita pela função $$y = e^{-x^2/4}H_{p}(x), $$ onde H_{p}(x) é um polinômio de Hermite.

Referências Bibliográficas do artigo:

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1. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
2. BOYCE, W.; DIPRIMA R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, LTC, Rio de Janeiro,2002
3. BRAUN, M. Equações Diferenciais e suas Aplicações, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1979.

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• E.D.O.’s Por Séries de Potência | Solução em Torno de Pontos Ordinários
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