Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Séries de Potência

Sendo assim, vamos retornar ao nosso problema da EDO linear de segunda ordem homogênea $$y”+p(t)y’+q(t) y = 0,$$ com p(t)\;\;e\;\;q(t) contínuas em um intervalo \alpha <t < \beta.

A questão que se apresenta agora é relativa ao fato da EDO ter ou não soluções com representação em série de potências sempre.

Se na equação $$y” + p(x)y’+q(x)y = r(x)$$ os coeficientes p(x),q(x) e r(x) possuem representação em série de potência, então a EDO de segunda ordem possui uma solução em série de potência.

O Que é Uma Série de Potência?

As Séries de Potências são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas.

Uma série de potências é uma série de funções dada por $$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n},$$ onde (a_n) é uma sequência de números reais.

Esse série de potências converge em um ponto x se o limite $$\lim_{x \rightarrow \infty}{\sum_{n=0}^{m}{a_n (x-x_0)^n}}$$ existe para esse x.

Daí, podemos concluir que:

• A série converge em x = x_0;
• A série pode convergir para alguns valores de x ou para todo x;
• A série pode não convergir.

Existem vários testes para verificar a convergência de séries de potências.

Um dos mais úteis é o chamado Teste de D’Alembert ou Teste da Razão.

Nosso interesse é escrever funções em forma de séries.

Os exemplos mais comuns de séries de potências são

$$
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}{x^n} = 1+x+x^2+… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x \neq 1)$$
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+…. $$
$$
\cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}} = 1- \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-…. $$
$$
\sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = x- \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…. $$

$$
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n x^n} = 1-x+x^2-… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(|x|\neq 1)$$
$$
\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n x^{2n}} = 1-x^2+x^3-x^4+… \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(|x|<1)$$
$$
\log{(1+x)} = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}} = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…. $$
$$
\arctan{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}} = x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-…. $$

Uma função real f(x) é chamada de analítica num ponto x=x_0 se ela pode ser representada por uma série de potências de (x-x_0) com raio de convergência \rho >0.

Um tipo de série de potências são as chamadas séries de Taylor em torno de x=x_0, cujo a_n é dado por $$a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.$$

Resolvendo EDOs por Séries de Potências.

Dada uma EDO $$y”+p(x)y’+r(x)y=0,$$ tais que p,q e r são analíticas no ponto x_0 , então a solução geral da EDO é $$y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} = a_0 y_1(x)+a_1 y_2(x)$$ onde a_0 e a_1 são arbitrários e y_1 e y_2 são soluções analíticas em x_0 que formam um conjunto fundamental de soluções cujo raio de convergência é ao menos o raio de convergência das séries de p e q.

Vamos descrever o procedimento uma EDO cuja solução conhecemos com o objetivo de ilustrar o método.

Vamos resolver a EDO $$y” + y = 0$$ utilizando as séries de potências.

Considere uma solução $$y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}.$$

Daí, $$y’ = \sum_{n=1}^{\infty}{n a_n x^{n-1}}$$ e $$y” = \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}}$$ e substituindo estas derivadas na EDO obtemos $$\sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}} + \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} = 0.$$

Fazendo n = s + 2 na primeira série e m = s na segunda série obtemos:
$$\sum_{s=0}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} + \sum_{s=0}^{\infty}{a_s x^s} = 0 \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \sum_{s=0}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} = -\sum_{s=0}^{\infty}{a_s x^s}=\sum_{s=0}^{\infty}{-a_s x^s}.$$

Para que duas séries sejam iguais cada potência x^s tem que ser acompanhada do mesmo coeficiente em ambos os lados. Portanto, $$(s+2)(s+1) a_{s+2} = -a_s \Rightarrow a_{s+2} = -\frac{a_s}{(s+2)(s+1)},$$ ou seja, obtemos uma fórmula de recorrência para os termos a_s que nos fornece:

$$\begin{array}{ccc}
a_2 = -\frac{a_0}{2.1}= -\frac{a_0}{2!} &\;\;\;\;\;\;\;\; & a_3 = -\frac{a_1}{3.2}= -\frac{a_1}{3!}\\
\\
a_4 = -\frac{a_2}{4.3}= -\frac{a_0}{4.3.2} = \frac{a_0}{4!} & & a_5 = -\frac{a_3}{5.4}= \frac{a_1}{5!}\\
\end{array}$$ e assim sucessivamente de modo que $a_0$ e $a_1$ sejam dadas de forma arbitrária. Desta forma:

\begin{eqnarray*}
y & = & a_0+a_1 x – \frac{a_0}{2!} x^2 – \frac{a_1}{3!}x^3 + \frac{a_0}{4!} x^4 + \frac{a_1}{5!} x^5 + …\\
\\
& = & a_0 \left( 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – …\right) + a_1 \left( x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – … \right)\\
\\
& = & a_0 \cos{x} + a_1 \sin{x}\\
\end{eqnarray*}

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s e as Séries de Potências:

• E.D.O.’s e as Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• E.D.O.’s e as Séries de Potências | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

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• Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
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