EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma quarta lista de exercícios resolvidos sobre EDO’s de primeira ordem exatas. Uma equação diferencial da forma $$M(x,y) dx+N(x,y)dy=0$$ é chamada de equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Pode-se mostrar que a equação M(t,y)+N(t,y)y'=0, é uma EDO exata em R se, e somente se, M_y (t,y)=N_t (t,y) em cada ponto de R.

Se a EDO é exata, então podemos afirmar que existe uma função \psi tal que \psi (t,y) = c é uma solução implícita desta EDO exata e \dfrac{\partial \psi}{ \partial t}(t,y)=M(t,y),\;\;\;\dfrac{ \partial \psi}{ \partial y}(t,y)=N(t,y) se, e só se, M_y (t,y)=N_t (t,y).

Algumas vezes é possível transformar uma EDO não-exata em uma EDO exata multiplicando a equação por um fator integrante apropriado. Para que este fator integrante \mu (t) exista para uma EDO não-exata na forma M(t,y)+N(t,y)y'=0, é necessário que \dfrac{d\mu}{dt}=\dfrac{M_y - N_t}{N} \mu. Se \dfrac{M_y - N_t}{N} depende apenas de t, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de t. Analogamente, se \dfrac{N_t - M_y}{M} depende apenas de y, então existe um fator integrante \mu que depende apenas de y.

EDO’s de 1ª Ordem Exatas | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Calcule a solução das EDOs exatas de primeira ordem abaixo:

a) \left( 4x^3 y^3 \; - \; 2xy \right)dx + \left( 3x^4 y^2 - x^2 \right) dy = 0

SOLUÇÃO: 

b) \left( cos(y) +y cos(x) \right) dx + \left( sen(x) - x sen(y) \right) dy = 0

SOLUÇÃO: 

c) \left( x^2 + y^2 +x \right) dx + xy dy = 0

SOLUÇÃO: 

d) \left( x^4 + y^4  \right) dx + xy^3 dy = 0

SOLUÇÃO: 

2) Se a equação M(x,y) dx + N(x,y) dy = y f_{1}(xy) dc + x f_2(xy) dy = 0 , então \dfrac{1}{M_{x} - N_{y}}, com M_{x} - N_{y} não identicamente nulo, é um fator integrantes da equação. Sabendo disso, encontre a solução da equação $$ \left( 2xy^2 + y \right) dx + \left(x + 2xy – x^4 y^3 \right)dy = 0 .$$

SOLUÇÃO: 

3) Encontre um fator integrante para a EDO $$ x \left( 4y dx + 2x dy \right) + y^3\left(3y dx + 5x dy \right) = 0 $$ assumindo que ele seja na forma x^{ \alpha } y^{ \beta } . Em seguida, encontre sua solução geral.

SOLUÇÃO: 

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