Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 9ª Lista de Exercícios

1) Solucione os problemas de valor inicial (P.V.I.) abaixo:

a) y'' + 9y = 0 com y(0) = 0 e y'(0) = 2;

SOLUÇÃO: 

b) y'' + 2y' + 5y = 0 com y(0) = 2 e y'(0) = -4;

SOLUÇÃO: 

c) y'' - 3 y' +2y = 4t + e^{3t} com y(0) = 1 e y'(0) = -1;

SOLUÇÃO: 

d) y'' + 3y' +2 y = R(t) com y(0) = 0 , y'(0) = 0; r(t) = 1 quando 0<t<1 e r(t)=0 para os demais valores de t;

SOLUÇÃO: 

e) y'' + 4y = sen(t) u(t - \pi) com y(0) = 1 e y'(0) = 0;

SOLUÇÃO: 

f) y''' - 3 y'' + 3 y' - y = 0 com y(0) = 1 , y'(0) = -1 e y''(0) = -1.

SOLUÇÃO: a tabela dada neste artigo

2) (Oscilações Forçadas) Resolva o problema de valor inicial y'' + k y = F_0 sen{(p t)} onde y(0) = y'(0) = 0 e p^2 \neq \dfrac{k}{m}. Este problema governa as oscilações forçadas de uma corpo com massa m presa na extremidade inferior de uma mola elástica fixa pela extremidade superior.

SOLUÇÃO:

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