Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 6ª Lista de Exercícios

1) Use a Transformada de Laplace para solucionar cada uma das Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:

a) x'' +16 x = cos(4t); \;\;\;\;\; x(0) = 0, x'(0) = 1 ;

SOLUÇÃO: 

b) y'' -2y'+5y = -8 e^{t}; \;\;\;\;\; y(0) = 2, y'(0) = 12 ;

SOLUÇÃO: 

c) w'' -2w'+5w = -8 e^{\pi-t}; \;\;\;\;\; w(\pi) = 2, w'(\pi) = 12 ;

SOLUÇÃO: y(t)

2) Use a propriedade da derivada de Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial $$y” + 2t y’ – 4y = 1; \qquad y(0) = y'(0) =0.$$

SOLUÇÃO: 

3) Use a convolução para resolver a equação integro-diferencial $$y'(t) = 1 – \int_{0}^{t}{y(t-v)e^{-2v}dv}; \qquad y(0) = 1.$$ 

SOLUÇÃO: 

4) Resolva a equação 2 x'' + 8x = \beta f(t), com \beta \in \mathbb{R}, x(0) = 10 e x'(0) = 0, em cada um dos casos abaixo:

a) No caso de f(t) = u(t-1)

SOLUÇÃO: 

b) No caso de f(t) = \delta (t)

SOLUÇÃO: 

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