Neste artigo temos mais 4 exercícios resolvidos sobre Equações Diferenciais de 2ª Ordem solucionados via Transformada de Laplace.
Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.
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Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f') = s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'') = s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) + s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) + s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.
Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 11ª Lista de Exercícios
1) y'' - 3 y' +2y = e^{3t} com y(0) = 1 e y'(0) = 0 ;
SOLUÇÃO:
Seja \mathscr{L} \left( y(t) \right) = Y(s) . Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação, encontramos $$ s^2 Y(s) – s – 3 [ sY(s) -1] + 2 Y(s) = \frac{1}{s-3}$$ o que nos leva em $$ Y(s) = \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} + \frac{s-3}{(s-1)(s-2)}.$$
Para encontrar y (t) , expandiremos cada termo no lado direito em frações parciais. Desta forma, obtemos $$ \frac{1}{(s-1)(s-2)(s-3)} = \frac{1}{2} \frac{1}{s-1} – \frac{1}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3}$$ $$ \frac{s-3}{(s-1)(s-2)} = \frac{2}{(s-1) } – \frac{1}{(s-2)}.$$
Logo, $$ Y(s) = \frac{1}{2} \frac{1}{s-1} – \frac{1}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3}+ \frac{2}{(s-1) } – \frac{1}{(s-2)} = \\ = \frac{5}{2} \frac{1}{s-1} – \frac{2}{s-2} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-3}.$$
Portanto, aplicando a transformada de Laplace inversa, encontramos $$ y(t) = \frac{5}{2} e^{t} – 2 e^{2t} + \frac{1}{2}e^{3t}.$$
2) y'' + y = \text{sen}(t) com y(0) = 1 e y'(0) = -1 ;
SOLUÇÃO:
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados encontramos $$s^2Y-s+1+Y = \frac{1}{s^1+1} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{1}{(s^2 +1)^2} + \frac{s}{s^2+1} – \frac{1}{s^2+1}.$$ Aplicando a Transformada de Laplace Inversa usando nossa tabela encontramos $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1} \left( \frac{1}{(s^2 +1)^2} + \frac{s}{s^2+1} – \frac{1}{s^2+1} \right) = \frac{1}{2} \left[ \text{sen}(t) – t \text{cos} (t) \right] +\text{sen}(t) – \text{cos} (t).$$
3) y''+4y = \text{sen}(t) u(t - 2 \pi ) com y(0) = 1 e y'(0) = 0 ;
SOLUÇÃO:
Como \text{sen} (t) é 2 \pi -periódica, então \text{sen} (t) = \text{sen} (t - 2 \pi) . Assim, \text{sen} (t) u(t-2 \pi )= \text{sen} (t - 2 \pi) u(t-2 \pi ) .
Aplicando, então, a Transformada de Laplace encontramos $$ s^2 Y -1 +4Y = \frac{e^{-2 \pi s} }{s^2 +1} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{e^{-2 \pi s} }{(s^2 +1)(s^2 +4)} + \frac{1}{s^2 +4} = \\ = e^{-2 \pi s} \left[ \frac{ 1/3 }{(s^2 +1)} – \frac{1/3}{(s^2 +4)} \right] + \frac{1}{s^2 +4}.$$
Aplicando a Transformada de Laplace Inversa usando nossa tabela encontramos $$ y(t) = \frac{1}{3} u(t – 2 \pi ) \text{sen}(t – 2 \pi ) – \frac{1}{6} u(t – 2 \pi ) \text{sen}(2[t – 2 \pi] ) + \frac{1}{2} \text{sen}(2t).$$
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4) y'' + y = f(t) com y(0) = 0 , y'(0) = 1 e f(t) = 1 para \pi \leq t \leq 2 \pi e f(t) = 0 para os demais valores de t .
SOLUÇÃO:
Nossa equação pode ser reescrita em termos da função degrau unitário dado por $$ y” + y = u(t- \pi ) – u (t- 2 \pi ) $$ e aplicando a Transformada de Laplace encontramos $$ s^2 Y – 1 Y = \frac{e^{ – \pi s } }{s}- \frac{e^{ – 2 \pi s } }{s} \Leftrightarrow Y(s) =e^{ – \pi s } \frac{1 }{s(s^2 +1) }- e^{ – 2 \pi s } \frac{ 1}{s(s^2 +1)} + \frac{ 1}{s^2 +1} .$$
Observando que $$ \frac{1 }{s(s^2 +1) } = \frac{1}{s}-\frac{s}{{s}^{2}+1} \Leftrightarrow \mathscr{L} \left( \frac{1 }{s(s^2 +1) } \right) = 1 – \text{cos}(t),$$ encontramos $$y(t) = u(t -\pi )\left[ 1- \text{cos}(t -\pi ) \right] – u(t – 2 \pi ) \left[ 1- \text{cos}(t -2\pi ) \right] + \text{sen}(t).$$
Listas de Exercícios
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
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- Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos
- Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos
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