Resolvendo EDO’s por Laplace | 11ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo temos mais 4 exercícios resolvidos sobre Equações Diferenciais de 2ª Ordem solucionados via Transformada de Laplace.

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 11ª Lista de Exercícios

1) y'' - 3 y' +2y = e^{3t} com y(0) = 1 e y'(0) = 0 ;

SOLUÇÃO: 

2) y'' + y = \text{sen}(t) com y(0) = 1 e y'(0) = -1 ;

SOLUÇÃO: a Transformada de Laplace Inversa usando nossa tabela

3) y''+4y = \text{sen}(t) u(t - 2 \pi ) com y(0) = 1 e y'(0) = 0 ;

SOLUÇÃO:a Transformada de Laplace Inversa usando nossa tabela

4) y'' + y = f(t) com y(0) = 0 , y'(0) = 1 e f(t) = 1 para \pi \leq t \leq 2 \pi e f(t) = 0 para os demais valores de t .

SOLUÇÃO: 

Listas de Exercícios

• Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos

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