Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo temos uma 5 exercícios de exercícios resolvidos sobre Equações Diferenciais de 2ª Ordem solucionados via Transformada de Laplace.

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 10ª Lista de Exercícios

1) Solucione os problemas de valor inicial (P.V.I.) abaixo:

a) y'' + 2 y' + 5y = e^{-t} sen(t) com y(0) = 0 e y'(0) = 1;

SOLUÇÃO: 

b) y''' - 3 y'' +3y' -y = t^2 e^{t} com y(0) = 1 , y'(0) = 0 e y''(0) = -2;

SOLUÇÃO: 

c) y'' - 3y' +2y = f(t) com y(0) = 0 e y'(0) = 0; onde $$f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1; & 0 \leq t < 1 \\ 1; & 2 \leq t < 3\\ 1; & 4 \leq t < 5 \\ 0 ; & \text{para os demais valores de t} \end{array} \right.$$

SOLUÇÃO: 

d) y'' + 2y' + y = e^{-t} \delta (t-1) com y(0) = 0 , y'(0) = 0.

SOLUÇÃO: 

2) Determine, usando a Transformada de Laplace, uma solução geral da equação y'' - a^2 y = f(t) , com as condições iniciais y(0) = c_1 e y'(0) = c_2

SOLUÇÃO: a tabela de transformada de Laplace

Listas de Exercícios

• Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos

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