Resolvendo EDO’s por Laplace | 10ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo temos uma 5 exercícios de exercícios resolvidos sobre Equações Diferenciais de 2ª Ordem solucionados via Transformada de Laplace.

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 10ª Lista de Exercícios

1) Solucione os problemas de valor inicial (P.V.I.) abaixo:

a) y'' + 2 y' + 5y = e^{-t} sen(t) com y(0) = 0 e y'(0) = 1;

SOLUÇÃO: 

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação encontramos $$ (s^2 +2s +5) Y -1 = \frac{1}{s^2+2s+2} $$ o que nos leva a $$Y(s) = \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)}$$ Usando Frações Parciais encontramos que $$ \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{1/3}{(s^2+2s+2)} + \frac{2/3}{(s^2+2s+5)} = \\ = \frac{1}{3} \frac{1}{(s+1)^2 +1} + \frac{2}{3} \frac{1}{(s+1)^2 + 4}$$ e aplicando a transformada de Laplace inversa encontramos $$y(t) = \frac{1}{3} e^{-t} \left( \text{sen} (t) + \text{sen}(2t) \right)$$

b) y''' - 3 y'' +3y' -y = t^2 e^{t} com y(0) = 1 , y'(0) = 0 e y''(0) = -2;

SOLUÇÃO: 

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação encontramos $$ (s^2-3s^2+3s-1) Y – s^2+3s-1 = \frac{2}{(s-1)^3}$$ o que nos leva a $$Y(s) = \frac{s^2-3s +1}{(s-1)^3} + \frac{2}{(s-1)^6}$$ e manipulando algebricamente para encaixar na tabela de transformadas nos dá $$Y(s) = \frac{(s-1)^2 – (s-1) -1}{(s-1)^3} + \frac{2}{(s-1)^6} = \frac{1}{s-1} – \frac{1}{(s-1)^2}- \frac{1}{(s-1)^3} + \frac{2}{(s-1)^6}$$ que aplicando a transformada de Laplace inversa nos leva a $$y(t) = e^{t}-te^{t}-\frac{t^2 e^{t}}{2} + \frac{t^5e^{t}}{60}.$$

c) y'' - 3y' +2y = f(t) com y(0) = 0 e y'(0) = 0; onde $$f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1; & 0 \leq t < 1 \\ 1; & 2 \leq t < 3\\ 1; & 4 \leq t < 5 \\ 0 ; & \text{para os demais valores de t} \end{array} \right.$$

SOLUÇÃO: 

A função f(t) pode ser reescrita usando a função degrau como $$ f(t) = \left[ 1-u(t-1)\right] + \left[ u(t-2)-u(t-3)\right] + \left[ u(t-4)-u(t-5)\right]$$ que tem transformada de Laplace dada por $$ F(s) = \frac{1}{s} – \frac{e^{-s} }{s} + \frac{e^{-2s} }{s} – \frac{e^{-3s} }{s} +\frac{e^{-4s} }{s} – \frac{e^{-5s} }{s}.$$ Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial encontramos $$ Y(s) = \frac{F(s)}{s^2-3s+2} = \frac{F(s)}{(s-1)(s-2)} = \\ \\  = \frac{1-e^{-s}+e^{-2s} – e^{-3s} + e^{-4s} – e^{-5s}}{s(s-1)(s-2)} .$$ Nosso próximo passo é expandir o termo   \dfrac{1}{s(s-1)(s-2)} em frações parciais, o que nos leva a $$ \frac{1}{s(s-1)(s-2)} = \frac{1}{2} \frac{1}{s} – \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} \frac{1}{s-2} = \mathscr{L} \left\{ \frac{1}{2} – e^t + \frac{1}{2} e^{2t} \right\}.$$ Assim, usando o Teorema da Translação, obtemos $$y(t) = \left[ \frac{1}{2} – e^t + \frac{1}{2} e^{2t} \right] – u(t-1) \left[ \frac{1}{2} – e^{t-1} + \frac{1}{2} e^{2(t-1)} \right]+ u(t-2) \left[ \frac{1}{2} – e^{t-2} + \frac{1}{2} e^{2(t-2)} \right] – \\ – u(t-3) \left[ \frac{1}{2} – e^{t-3} + \frac{1}{2} e^{2(t-3)} \right] + u(t-4) \left[ \frac{1}{2} – e^{t-4} + \frac{1}{2} e^{2(t-4)} \right]-\\ – u(t-5) \left[ \frac{1}{2} – e^{t-5} + \frac{1}{2} e^{2(t-5)} \right].$$

d) y'' + 2y' + y = e^{-t} \delta (t-1) com y(0) = 0 , y'(0) = 0.

SOLUÇÃO: 

Aplicando a transformada de Laplace na equação nos dá $$ (s^e +2s+1) Y(s) = \frac{1}{s+1}+3e^{-s} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{1}{(s+1)^3} + \frac{3 e^{-s}}{(s+1)^2} .$$ Desta forma, como $$ \frac{1}{(s+1)^3} = \mathscr{L} \left\{ \frac{t^2 e^{-t}}{2} \right\} \qquad \text{e} \qquad \frac{3 e^{-s}}{(s+1)^2}  = \mathscr{L} \left\{ (t-1) e^{-(t-1)} u(t-1) \right\}$$ nós vemos que $$ y(t) = \frac{t^2 e^{-t}}{2} + 3 (t-1) e^{-(t-1)} u(t-1) .$$ Ou seja, $$ y(t) = \frac{t^2 e^{-t}}{2} + 3 (t-1) e^{-(t-1)}, \qquad \text{para } t>1.$$

2) Determine, usando a Transformada de Laplace, uma solução geral da equação y'' - a^2 y = f(t) , com as condições iniciais y(0) = c_1 e y'(0) = c_2

SOLUÇÃO: 

Seja y(0) = c_1 e y'(0) = c_2 . Aplicando a transformada de Laplace, encontraremos que $$s^2 Y -sc_1-c_2-a^1Y = F(s)$$ ou seja, $$Y(s) = \frac{sc_1 +c_2}{s^2 – a^2} + \frac{F(s)}{s^2 -a^2} = c_1 \frac{s}{s^2 – a^2} + \frac{c_2}{a} \frac{a}{s^2 -a^2}+ \frac{1}{a} F(s) \frac{a}{s^2 -a^2}.$$ Agora, usando a linearidade e a tabela de transformada de Laplace, aplicamos a transformada de Laplace Inversa encontrando $$y(t) = c_1 \text{cosh}(at) + \frac{c_2}{a} \text{senh}(at) + \frac{1}{a} f(t) \ast \text{senh}(at) .$$

Listas de Exercícios

• Resolvendo EDO’s por Laplace | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 5ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 6ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 8ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Resolvendo EDO’s por Laplace | 9ª Lista de Exercícios Resolvidos

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