Sistemas de Numeração: Números Egípcios, Babilônicos e Romanos

Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras que nos permite escrever e ler qualquer número de determinado conjunto. Neste artigo falamos dos sistemas egípcio, babilônico e romano.

Os sistemas de numeração são a forma com que encontramos, em eras primitivas, de quantificar e controlar o mundo à nossa volta. Isso porque cotidianamente lidamos com números, sendo impensável que você passe ao menos um dia sem utilizar ao menos um deles. No nosso caso, usamos o sistema de numeração Indo-Arábico.

Esta percepção de uma propriedade abstrata que certos grupos têm em comum e que nós chamamos de “número” representa um grande passo no caminho para a matemática moderna. É improvável que isso tenha sido descoberta de um único indivíduo ou de uma dada tribo; é mais provável que a percepção tenha sido gradual, desenvolvida tão cedo no desenvolvimento cultura do homem quanto o uso do fogo, talvez, há 300.000 anos.

Os números fazem parte do cotidiano das pessoas há milênios e, atualmente, eles estão cada vez mais presentes em todos os cantos da nossa casa, trabalho, lazer, supermercado, escola, seja de forma explícita ou implícita, se apresentando para finalidades diversas como contar, medir, ordenar ou codificar.

Mas nem todos os sistemas de numeração são parecidos. A história da humanidade nos mostra a existência de muitos sistemas de numeração, criados por vários povos: egípcios, babilônios, chineses, maias, romanos, hindus, e vários outros. O sistema de numeração chinês, por exemplo, é dado abaixo:

Outro exemplo interessante e mais próximo de nós, brasileiros, é o antigo sistema de numeração dos indígenas Guaranis, que usavam gestos da mão para contar.

Já os Maias da península de Yucatan e da América Central usavam um sistema vigesimal. Em sua representação de intervalos de tempo entre datas em seu calendário, os maias usavam uma numeração com valor na posição, geralmente com 20 na base primária e 5 como auxiliar. Unidades eram representadas por pontos e cincos por barras horizontais. Curiosamente, os maias tinham um símbolo para as posições ausentes (equivalente ao algarismo zero em alguma posição de um número moderno), presente em diversas fontes e que lembra um pouco um olho semi-aberto.

Como Surgiram os Números e os Sistemas de Numeração?

Nossos antepassados mais antigos, inicialmente, contavam só até dois, e qualquer conjunto além desse nível, era designado por “muitos”. Como Aristóteles bem observou há muito tempo, “o uso difundido atualmente do sistema decimal é apenas resultado do acidente anatômico de que quase todo nós nascemos com dez dedos nas mãos e nos pés”. Acredita-se, em geral, que o desenvolvimento da linguagem foi essencial para que surgisse o pensamento matemático abstrato.

Na antiguidade, um pastor de animais, para saber quantos animais tinha, correspondia a cada um deles uma pequena pedra (perceba que ele já estava criando uma relação entre um conjunto de pedras e um conjunto de animais, na prática, mesmo nestes primórdios, estava-se construindo uma função). Ao recolher o rebanho no fim do dia, retirava uma pedra para cada ovelha que encontrava. E foi assim que os seres humanos aprenderam a contar.

A ideia comum de quantificação que existe tanto no conjunto de pedras quanto no de animais foram logo associados a símbolos primitivos, que hoje conhecemos como números. Outras formas de registrar quantidade eram: 1) nós em uma corda; ou 2) marcas em pedaços de madeira ou ossos. Historicamente, contar com o dedos, ou a prática de contar por grupos de cinco e dez, parece ter surgido mais tarde que a contagem por grupos de dois e três; entretanto os sistemas quinário e decimal quase invariavelmente substituíram o binário e o ternário.

Descobertas arqueológicas fornecem evidências de que a ideia de número é muito mais velha do que se admitia anteriormente. Supõe-se usualmente que os números surgiram em resposta a necessidades práticas, mas estudos antropológicos sugerem a possibilidade de uma outra origem. Foi sugerido que a arte de contar surgiu em conexão com rituais tribais religiosos primitivos e que o aspecto ordinal (ou seja, de usar os números para estabelecer uma ordem) precedeu o conceito quantitativo. Esse ponto de vista, longe de ser estabelecido, estaria em harmonia com a divisão ritual dos inteiros em ímpares e pares, os primeiros considerados como masculinos e os últimos como femininos.

O conceito de número inteiro (mais precisamento os naturais) é o mais antigo na matemática e sua origem se perde nas névoas da antiguidade pré-histórica. A noção de fração racional, porém, surgiu relativamente tarde e em geral não estava relacionada de perto com os sistemas para os números inteiros. Entre as tribos primitivas, parece não ter havido praticamente nenhuma necessidade de usar frações.

O Sistema de Numeração Egípcio

O sistema de numeração egípcio, originário do tedioso princípio da repetição da numeração hieroglífica, por exemplo usa traços e figuras para representar os números, como podemos ver na figura abaixo. Este tipo de numeração é pelo menos tão antigo quanto as pirâmides, datando de cerca de 5.000 anos atrás, baseava-se na escala de dez e se valia de sinais especiais, ou cifras, para representar dígitos e múltiplos de potencias de dez.

Os egípcios criaram um dos primeiros sistemas de numeração com registros que permaneceram até a era atual que se tem notícia. Usando os símbolos da tabela acima eles podiam efetuar cálculos sofisticados para a época, empregando-os em seus projetos de engenharia com competência e segurança, usando regras simples, muito parecidas com as que regem nosso moderno sistema de numeração:

1. Cada símbolo podia ser repetidos no máximo nove vezes;
2. A cada dez símbolos repetidos fazia-se a troca por outro, de um agrupamento superior;
3. Adicionavam-se os valores dos símbolos utilizados para contar o valor representado;
4. A posição dos símbolos não altera o número escrito;

O princípio da ciferização (ou seja, a introdução de sinais especiais para representar dígitos numéricos), introduzido pelos egípcios a cerca de 4.000 anos e usado Papiro de Rhind, representou uma importante contribuição à numeração, e é um dos fatores que fez do sistema em uso hoje o instrumento tão eficaz que é.

A matemática egípcia era primitiva, de fato, embora altamente aplicável. Seu desenvolvimento se deu de acordo com a necessidade e apenas por exemplos e casos particulares, sem a preocupação de demonstrações embasadas em um sólido escopo teórico, que só viria com os gregos. Entretanto, com pouco material teórico em mãos e penas uma operação e,ementar eles conseguiram resultados impressionantes, alguns dotados de alta complexidade para matemáticos primitivos que só conheciam a adição e algumas frações específicas.

O Sistema de Numeração Babilônico

Em escavações arqueológicas na região da Mesopotâmia foram encontrados blocos de argila com inscrições de aspecto cuneiforme (este tipo de escrita foi desenvolvido pelos sumérios, provavelmente antes do hieróglifos egípcios), que era a forma de escrita deste povo conhecido como os babilônicos (as civilizações antigas da Mesopotâmia são frequentemente chamadas babilônicos), uma das primeiras civilizações que se tem notícia de uma primitiva organização científica. As fontes arqueológicas que atestam o uso desta antiga escrita datam de cerca de 5.000 anos atrás.

Os babilônios usavam dois símbolos para registrar quantidades:

1. O cravo, que podia ser usado até nove vezes, representando os números de 1 a 9; e
2. A asna, que representava o número 10.

Ambos são representados na figura abaixo:

O sistema de numeração babilônico não possuía um símbolo para representar o zero. Neste sistema era usado um espaço entre os símbolos para diferenciar o tipo de agrupamento, e o símbolo usado para representar o 60 era o mesmo do 1. A contagem era feita em agrupamentos de 10 e também de 60; assim, temos:

Os antigos babilônios foram os primeiros a observar que seus símbolos poderiam receber valores que dependessem de suas posições relativas na representação do número. Mesmo assim, a falta de um símbolo para o zero pode ter gerado inconvenientes para distinguir rapidamente números como o 22 e o 202.

Isso mudou na época da conquista por Alexandre, o Grande, quando começaram a inserir duas pequenas cunhas colocadas obliquamente como marcador de lugar onde um numeral faltasse (ele estaria no lugar do 0 no número 202, permitindo a distinção dele para o 22 com mais facilidade). Entretanto, este símbolo parece ter sido usado apenas para posições intermediárias vazias.

Mesmo assim, o babilônicos não conseguiram criar um sistema numérico que fornecessem um sistema posicional absoluto. O que não os impediu de fazer conquistas impressionantes, como aproximar valores de raízes quadradas (por um processo equivalente à aproximação por dois termos da série binomial), resolver equações do segundo e do terceiro graus, calcular áreas poligonais e fazer um uso primitivo das matrizes.

O Sistema de Numeração Romano (Os Números Romanos)

O sistema de numeração romano é baseado em sete símbolos:

Apesar das letras usadas serem do alfabeto latino, a origem destes símbolos não está neste alfabeto. O cinco, por exemplo, originalmente era u agrupamento de cinco traços que começavam no mesmo ponto, representando os dedos da mão e que foram sendo simplificados até chegarem a algo que se assemelha ao nosso V.

Os sistema de numeração romano, conhecido como números romanos, obedecem a regras específicas e bem definidas:

1. Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, no máximo três vezes. Por exemplo, $$ \text{III} = 3, \qquad \text{II} = 2, \qquad \text{I} = 1 $$ $$ \text{X} = 10, \qquad \text{XX} = 20, \qquad \text{XXX} = 30,$$ $$ \text{C} = 100, \qquad \text{CC} = 200, \qquad \text{CCC} = 300, $$ $$ \text{M} = 1000, \qquad \text{MM} = 2000, \qquad \text{MMM} = 3000.$$
2. Um símbolo coloado à esquerda de outro símbolo de maior valor indica uma subtração dos respectivos valores. Por exemplo, $$ \text{IV} = 5-1 = 4, \qquad \text{IX} = 9, \qquad \text{XL} = 40,$$ $$ \text{XC} = 90, \qquad \text{CD} = 400, \qquad \text{CM} = 900.$$ Além disso, I só pode ser subtraído de V e X; X só pode ser subtraído de L e C; C só pode ser subtraído de D e M; e os símbolos V, L e D não podem ser subtraídos de nenhum outro.
3. Para representar os números no Sistema de Numeração Romano, basta colocá-los lado a lado e adicionar seus valores, assim, $$ \text{VI} = 5+1 = 6 ;$$ $$ \text{XI} = 10+1 = 11 ;$$ $$ \text{CCLIV} = 200+50+4=254 ;$$ $$ \text{MDCCCXXIII} = 1000+800+20+23-1823.$$
4. Um símbolo com um traço acima representa milhares, com dois trações representa milhões e assim por diante. Por exemplo $$ \overline{\text{V}} = 5\;000; $$ $$ \overline{\text{VI}} \text{DCCXX} = 6\;720; $$ $$ \overline{\overline{\text{XX}}} = 20\;000\;000; $$
5. No sistema de numeração romano não há um símbolo para representar o zero.

O sistema numérico romano não se mostraria muito prático ao longo do desenvolvimento da matemática, sendo substituído pela numeração arábica em alguns séculos, mas além do sistema de numeração, muitos aspectos culturais romanos ainda se mantiveram em nossa sociedade moderna, como o sistema jurídico, por exemplo.

O fato é que a Roma Antiga pouco contribuiu para a ciência e a filosofia, e menos anda para a matemática. Tanto nos dias do império ou durante a república, os romanos mostraram pouco inclinação para a investigação especulativa ou a lógica, se dedicando às artes práticas como a medicina, a geografia descritiva e a agricultura, por exemplo.

Os engenheiros romanos conseguiram feitos impressionantes, mas eles se relacionavam com os aspectos mais simples da ciência de sua época, satisfazendo-se com técnicas e práticas elementares que requeriam pouco conhecimento desenvolvido pelo pensamento matemático grego, do qual foram herdeiros.

Referências Bibliográficas:

1. JUNIOR, G., RUY, J. A conquista da matemática, 6º ano. FTD. (2018, p. 15). PNLD 0377P2002 – Link do livro.
2. B. BOYER, Carl. História da Matemática. São Paulo: Bluncher, 2012. – Link do livro.