EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Uma equação diferencial na forma $$M(x,y)dx + N(x,y) dy =0$$ é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau. De acordo com esta definição, uma equação na forma M(x,y)dx + N(x,y) dy =0 é homogênea se $$ M(tx,ty) = t^n M(x,y) \qquad e \qquad N(tx,ty) = t^n N(x,y).$$ Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica.

Especificamente, a substituição y = u x ou x = v y , em que u e v são as novas variáveis independentes, e elas serão transformadas em EDOs separáveis, onde $$dy = u dx + x du$$ no primeiro caso e $$ dx = v dy + y dv, $$ no segundo caso. Ou seja, equações homogêneas são aquelas que podem ser escritas em termos da razão \dfrac{y}{x} e com isso se tornam equações separáveis.

2ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s Homogêneas de Primeira Ordem

1) Resolva a equação \begin{equation} \frac{dy}{dt}=\frac{y-4t}{t-y} .\end{equation}

SOLUÇÃO: Solução de I:Solução de IISolução Geral: 

2) Calcule a solução das EDO’s homogêneas de 1ª ordem:

a) xdx + (y-2x)dy = 0

SOLUÇÃO: Reescrevendo a equação obtemos $$ 1 + \left( \frac{y}{x} -2 \right) \frac{dy}{dx} = 0. $$ Fazendo y = xu encontramos a equação $$ 1 + (u -2) \left( u + x \frac{du}{dx} \right) = 0 $$ que é separável, dada por \begin{eqnarray} \frac{u-2}{-u^2 + 2u -1} du & = & \frac{1}{x} dx  \\ \frac{u-2}{-(u -1)^2} du& = & \frac{1}{x} dx \\ \frac{2-u}{(u -1)^2} du& = & \frac{1}{x} dx  \end{eqnarray} e integrando em ambos os lados e desfazendo a mudança de variáveis encontramos \begin{eqnarray} -\mathrm{ln}\left( |u-1|\right) -\frac{1}{u-1} & = & \ln{|x|} +c \\ \mathrm{ln}\left( \left| \frac{y}{x}-1 \right| \right) -\frac{1}{\frac{y}{x}-1} & = & \ln{|x|} +c \\ \mathrm{ln}\left( \left| \frac{y}{x}-1 \right| \right) -\frac{x}{y-x} & = & \ln{|x|} +c \end{eqnarray} como solução implícita da EDO.

b) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y-x}{y+x}

SOLUÇÃO: Dividindo numerador denominador por x e fazendo y = u x , obtemos $$ \frac{dy}{dx} = \frac{y/x -1}{y/x+1} \Leftrightarrow u + x \frac{du}{dx} =  \frac{u -1}{u+1} \Leftrightarrow \\  \Leftrightarrow x \frac{du}{dx} = – \frac{u^2 +1}{u+1} \Leftrightarrow   – \frac{u+1}{u^2 +1} du = \frac{1}{x} dx .$$ Integrando em ambos os lados da equação, encontramos como solução implícita: $$ -\frac{\mathrm{log}\left( {u}^{2}+1\right) }{2}-\mathrm{arctan}\left( u\right) = \ln{|x|} + c \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow -\frac{\mathrm{log}\left( [y/x]^{2}+1\right) }{2}-\mathrm{arctan}\left( y/x \right) = \ln{|x|} + c $$

c) x \dfrac{dy}{dx} - y = \sqrt{x^2 + y^2}

SOLUÇÃO: Reescrevendo a equação como $$ x \frac{dy}{dx} – y = x \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x} \right)^2}$$ e dividindo a equação por x obtemos $$ \frac{dy}{dx} – \frac{y}{x} = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x} \right)^2}.$$ Daí, utilizando a substituição y = ux encontramos a nova equação separável $$ x\frac{du}{dx} = \sqrt{1 + \left( u \right)^2},$$ que nos leva à equação $$\frac{1}{\sqrt{1 + \left( u \right)^2}} du = \frac{1}{x} dx .$$ Integrando em ambos os lados  da equação encontramos a solução implícita $$ \mathrm{arcsenh}(u) = \ln{|x|} + c$$ que pode ser dada explicitamente por $$ u = \mathrm{senh}\left( \ln{|x|} + c \right).$$ Revertendo a mudança de variáveis encontramos $$y(x) = x \mathrm{senh}\left( \ln{|x|} + c \right).$$

d) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y}

SOLUÇÃO: Fazendo y = u x encontramos a equação $$u + x \frac{du}{dx} = u + \frac{1}{u} \Leftrightarrow x \frac{du}{dx} =  \frac{1}{u}$$  que é separável:  $$udu = \frac{1}{x} dx.$$ Integrando em ambos os lados temos $$\frac{u^2}{2} = \ln|x| +c \Leftrightarrow u = \pm \sqrt{\ln \left( x^2 \right) +2c}$$ Lembrando que y = u x , obtemos a solução explícita da EDO dada por $$y = \pm x \sqrt{\ln \left( x^2 \right) +2c}$$

e) (x^2 + xy - y^2)dx - xy dy = 0

SOLUÇÃO: Dividindo a equação por x^2 dx obtemos $$ 1 + \frac{y}{x} – \frac{y^2}{x^2} – \frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = 0 .$$ Utilizando a mudança de variáveis y = u x ficamos com a equação $$1 + u -u^2 – u \left( u + x \frac{du}{dx} \right) = 0$$ que nos leva à equação separável $$ \frac{u}{1+u-2u^2} du = \frac{1}{x} dx $$ que integrada em ambos os lados nos dá a solução implícita $$ -\frac{\mathrm{ln}\left( 2\,u+1\right) }{6}-\frac{\mathrm{ln}\left( u-1\right) }{3} = \ln|x| +c .$$ Lembrando que y /x = u temos qua a solução implícita da equação é dada por $$ -\frac{\mathrm{ln}\left( 2\, (y/x)+1\right) }{6}-\frac{\mathrm{ln}\left( (y/x) -1\right) }{3} = \ln|x| +c .$$

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