Neste artigo queremos apresentar uma quinta lista de exercícios resolvidos sobre equações diferenciais ordinárias (E.D.O.’s) de segunda ordem lineares.
Estas equações são dadas pela forma a_2(x) y'' + a_1 (x) y' + a_0 (x) y = g(x), onde a_2(x), a_1 (x) , a_0 (x) e g(x) são contínuas em um intervalo I e a_2 (x) \neq 0 para todo x neste mesmo intervalo.
Sob essas hipóteses, existe uma única solução para $$ a_2(x) y” + a_1 (x) y’ + a_0 (x) y = g(x), $$ que satisfaça a condição inicial $$ y(x_0) = y_0, \qquad y’ (x_0) = y’_0 ,$$ em que x_0 \in I . A técnica usada para resolver este tipo de equação consiste em encontrar a solução geral da equação homogênea associada a_2(x) y'' + a_1 (x) y' + a_0 (x) y = 0 e somá-la a uma solução particular da equação completa utilizando o método dos coeficientes indeterminados ou variação dos parâmetros, dependendo das condições.
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| Mais abaixo, neste artigo, temos uma vídeo-aula de exercícios resolvidos uma lista com vários outros exercícios resolvidos sobre EDOs Lineares de 2ª Ordem. |
1) Resolva as E.D.O.’s abaixo:
a) y'' +y = \text{cosh}(x)
SOLUÇÃO:
- y_{p_{1}} (x) é solução particular da equação y'' +y = \frac{1}{2} e^{x} ;
- y_p{_{2}} (x) é solução particular da equação y'' +y = \frac{1}{2} e^{-x} .
b) y'' +4y = \dfrac{e^{2x}}{x}
SOLUÇÃO:
c) x^2 y'' +5xy'+y = x^2-x
SOLUÇÃO:
d) (x-1)^2y'' - 2(x-1)y' -4y = 0
SOLUÇÃO:
e) y'' +y = \cos (x) - \text{sen} (2x)
Apoie Nosso Trabalho:
Apoie nosso trabalho fazendo um pix de qualquer valor: Chave Pix: 06713646697
SOLUÇÃO:
- y_{p_{1}} (x) é solução particular da equação y'' +y = \text{cos}(x);
- y_p{_{2}} (x) é solução particular da equação y'' +y = - \text{sen}(2x) .
- No primeiro caso consideramos $$y_{p_{1}} (x) = mx \text{cos}(x) + nx \text{sen}(x) $$ e substituindo na equação encontramos $$2n \text{cos}(x) -2m \text{sen}(x) = \text{cos}(x) $$ o que nos diz que n=1/2 e m = 0 , ou seja, $$y_{p_{1}} (x) = \frac{1}{2}x \text{sen}(x) $$
- No segundo caso, consideramos $$y_{p_{2}} (x) = m \text{cos}(2x) + n \text{sen}(2x) $$ e substituindo na equação encontramos $$-3n \text{sen}(2x) -3m \text{cos}(2x) = -\text{sen}(2x) $$ o que nos diz que n=1/3 e m = 0 , ou seja, $$y_{p_{2}} (x) = \frac{1}{3} \text{sen}(2x) $$
f) x^2 y'' +xy'+ \left( x^2-\dfrac{1}{4} \right) y = 0
SOLUÇÃO:
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