Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis a Valores Reais

Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Vetoriais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar. Nesse artigo queremos estabelecer o conceito de Diferenciabilidade para esse tipo de função.

Vamos apresentar esse conceito através de funções com domínio no \mathbb{R} ^2 simplesmente pela facilidade em estabelecer gráficos e representações do domínio, e também por serem as funções que mais aparecem em aplicações de engenharia, por exemplo.

Diferenciabilidade

O conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis a valores reais está relacionado, de maneira mais geral, ao conceito de derivabiliadade de funções de uma variável.

Sabemos que quando uma função de uma variável é derivável, então ela é contínua, o mesmo não ocorrendo com as derivadas parciais de funções de mais uma variável.

Se as derivadas parciais existem, então não podemos garantir a continuidade da função.

DEFINIÇÃO (DIFERENCIABILIDADE)

Dizemos que a função f(x,y) é diferenciável no ponto (x_0, y_0) se as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) e \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) existem e se $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{f(x,y) – f(x_0, y_0) – \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) (x-x_0) – \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) (y-y_0)}{\| (x,y) – (x_0, y_0) \|}} = 0.$$

Dizemos que f é diferenciável num conjunto A \subset D_f, se f for diferenciável em todos os pontos de A.

OBSERVAÇÃO

Se uma das derivadas parciais não existe no ponto (x_0,y_0), f não é diferenciável neste ponto.

EXEMPLO

f(x,y) = x^2 + y^2 é diferenciável em \mathbb{R}^2?

Primeiramente, vamos verificar as derivadas parciais: \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) = 2x_0 e \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0)=2y_0 .

Agora, vamos verificar se L=0 para $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{f(x,y) – \left( f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) (x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) (y-y_0) \right)}{\| (x,y) – (x_0, y_0) \|}} = L$$

\begin{eqnarray*}
L & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{x^2+y^2 – \left( x_0^2 +y_0^2 + 2x_0 (x-x_0)+ 2y_0 (y-y_0) \right)}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}}}\\
\\
& = &\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{(x^2-2x_0x +x_0^2)+(y^2 – 2yy_0 + y_0^2)}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}}\\
\\
& = & \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{(x – x_0)^2+(y – y_0)^2}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}}\\
\\
& = & \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}}\\
\\
& = & 0
\end{eqnarray*}

Portanto, podemos concluir que f é diferenciável em \mathbb{R}^2.

Condição Suficiente de Diferenciabilidade

Seja (x_0, y_0) um ponto do domínio da função f(x,y). Se f(x,y) possui derivadas parciais \frac{\partial f}{ \partial x} e \frac{\partial f}{ \partial y} num conjunto A (aberto) que contém (x_0, y_0) e se essas derivadas parciais são contínuas em (x_0, y_0), então f é diferenciável em (x_0, y_0).

EXEMPLO

Verifique se f(x,y) = 3xy^2+4x^2y+2xy é diferenciável.

As derivadas parciais de f são dadas por

\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial x} &=& 3y^2 + 8xy+2y\\
\\
\frac{\partial f}{\partial x} &=& 6xy+ 4x^2+2x\\
\end{eqnarray*}

que são contínuas para todo ponto do plano \mathbb{R} ^2. Portanto, f é diferenciável em \mathbb{R} ^2.

OBSERVAÇÃO:

É importante ressaltar que a recíproca do teorema anterior não é verdadeira. Podemos ter uma função diferenciável em um ponto (x_0, y_0), cujas derivadas parciais neste ponto não são contínuas.

EXEMPLO DE FUNÇÃO DIFERENCIÁVEL, MAS COM DERIVADAS PARCIAIS DESCONTÍNUAS NUM PONTO

Seja $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{lll}
(x^2+y^2)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}} ; (x,y) & \neq & (0,0)\\
\\
0; (x,y) & = & (0,0) \end{array} \right.$$

Derivadas Parciais:

1- Para pontos (x,y) \neq (x_0, y_0):
$$ \dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 2x \sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}} -\dfrac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}}$$
$$ \dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) = 2y \sin{\dfrac{1}{x^2+y^2}} -\dfrac{2y}{(x^2+y^2)}\cos{\dfrac{1}{x^2+y^2}}$$

2 – Para (x,y) = (x_0, y_0):
$$\dfrac{\partial f}{\partial x} (x,y) = \lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f(h, 0) – f(0, 0)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{h^2\sin{\dfrac{1}{h^2}}}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{h\sin{\dfrac{1}{h^2}}} = 0$$
$$
\dfrac{\partial f}{\partial y} (x,y) = \lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{f(0, h) – f(0, 0)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\dfrac{h^2\sin{\dfrac{1}{h^2}}}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{h\sin{\dfrac{1}{h^2}}} = 0$$

Portanto,
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
2x \sin{\frac{1}{x^2+y^2}} -\frac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\frac{1}{x^2+y^2}} ; & (x,y) \neq (0,0)\\
\\
0; & (x,y) = (0,0) \end{array} \right. \\
\\
\frac{\partial f}{\partial y} (x,y) & = & \left\{ \begin{array}{ll}
2y \sin{\frac{1}{x^2+y^2}} -\frac{2y}{(x^2+y^2)}\cos{\frac{1}{x^2+y^2}} ; & (x,y) \neq (0,0)\\
\\
0; & (x,y) = (0,0) \end{array} \right. \\
\end{eqnarray*}

Diferenciabilidade em (0,0):

Como já vimos anteriormente as derivadas parciais de f(x,y) existem.

Agora, vamos ver se a função f(x,y) é diferenciável na origem calculando o limite
\begin{eqnarray*}
L & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{(x^2+y^2)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}} – 0 + 0 (x-0) + 0 (y-0)}{\| (x,y) \|}} \\
& = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{(x^2+y^2)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}}}\\
& = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \sqrt{(x^2+y^2)}\sin{\frac{1}{x^2+y^2}}}\\
& = & 0.
\end{eqnarray*}
Portanto, f(x,y) é diferenciável na origem.

A não continuidade das derivadas parciais em (0,0)

Temos que
\begin{eqnarray*}
\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) & = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{2x \sin{\frac{1}{x^2+y^2}} -\frac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\frac{1}{x^2+y^2}}}\\
\\
& = & \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{2x \sin{\frac{1}{x^2+y^2}}} – \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\frac{1}{x^2+y^2}}}\\
\\
& = & 0 – \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\frac{1}{x^2+y^2}}}\\
\\
& = & 0 – \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\frac{1}{x^2+y^2}}}\\
\end{eqnarray*}
Agora, temos que verificar a existência do limite $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{2x}{(x^2+y^2)}\cos{\frac{1}{x^2+y^2}}}.$$

Porém, já verificamos isso como exemplo deste artigo, e sabemos que este limite não existe.

Portanto, $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)$$ não existe,

impossibilitando que a derivada parcial de f em relação a x seja contínua.

Analogamente, conseguimos mostrar que \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) não é contínua no ponto (0,0).

f é diferenciável para todo (x,y) \in \mathbb{R} ^2

Como já pudemos mostrar previamente, ã função f é diferenciável no ponto (0,0).

Em todo ponto (x,y) \neq (0,0) f é diferenciável, pois em cada ponto do plano diferente da origem as derivadas parciais de f são contínuas.

OBSERVAÇÕES:

• Toda função diferenciável em um ponto é também contínua neste ponto. Ou seja, diferenciabilidade implica em continuidade.
• Toda função diferenciável em um ponto admite derivadas parciais neste mesmo ponto.
• Se uma das derivadas parciais não existir em um ponto, então a função não poderá ser diferenciável neste ponto.
• Se a função não for contínua em um ponto então elá não pode ser diferenciável neste ponto.

EXEMPLO

Considere a função f(x,y) = \dfrac{2xy^2}{x^2 + y^4}, se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0) = 0. .

Inspirado pelo denominador, iremos usar as parábolas como curvas genéricas para investigar este limite. Parábolas genéricas que passem pela origem e tenham como eixo de simetria o eixo x são dadas por $$ x= \alpha t^2 $$ $$ y = \beta t. $$

Observe que $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{2xy^2}{x^2 + y^4} } = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{2 t^4 \alpha \beta ^2 }{\alpha ^2 t^4 + \beta ^4 t^4}}=$$ $$=\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{2 \alpha \beta ^2 }{\alpha ^2 + \beta ^4 }} = \frac{2 \alpha \beta ^2 }{\alpha ^2 + \beta ^4 }.$$

Ou seja, este limite não existe! Logo está função não é contínua no ponto (0,0), e, portanto, ela não é diferenciável neste mesmo ponto.

OBSERVAÇÃO: Note que se usarmos as retas como curvas genéricas chegaríamos à conclusão errada de que este limite existiria e esta função seria contínua em (0,0). Para explicar melhor este fato sobre esta função temos uma video aula especial que você confere aqui.

Função Duas Vezes Diferenciável

Uma função f(x,y) é dita duas vezes diferenciável no ponto (x_0,y_0), se as derivadas parciais de segunda ordem de f existem e são contínuas neste ponto.

TEOREMA DE SCHWARZ

Seja f:A\subset \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R}, A aberto. Se f for duas vezes diferenciável em A, então $$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y).$$

EXEMPLO: Seja $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{rl} \frac{xy^3}{x^2 + y^2}; & (x,y)\neq (0,0)\\ 0: & (x,y)= (0,0)\\ \end{array} \right. $$

Temos que:

$$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h,0) – f(0,0)}{h} = 0$$

e

$$\frac{\partial f}{\partial y} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0,h) – f(0,0)}{h} = 0$$

Logo,

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \left\{ \begin{array}{rl}
\frac{y^3(x^2+y^2) – 2x^2y^3}{(x^2 + y^2)^2}; & (x,y)\neq (0,0)\\
\\
0; & (x,y)= (0,0)\\
\end{array} \right.$$

e

\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \left\{ \begin{array}{rl}\dfrac{3xy^2(x^2+y^2) - 2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}; & (x,y)\neq (0,0)\\\\0; & (x,y)= (0,0)\\\end{array} \right.

Note que,

$$\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{\partial f}{\partial y}(h,0) – \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h} = 0$$

e

$$\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,h) – \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{h} = 1$$

Ou seja, $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) \neq \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y).$$ Isso se dá pelo fato de f não ser duas vezes diferenciável no ponto (0,0).

Exercícios Resolvidos Sobre Diferenciabilidade

• Diferenciabilidade | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Diferenciabilidade | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• A Diferencial | Funções de Várias Variáveis a Valores Reais
• Derivadas Parciais | Funções de Várias Variáveis a Valores Reais
• Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Reais
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