Diferenciabilidade | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Dizemos que a função f(x,y) é diferenciável no ponto (x_0, y_0) se as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) e \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) existem e se $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{f(x,y) – f(x_0, y_0) – \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) (x-x_0) – \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) (y-y_0)}{\| (x,y) – (x_0, y_0) \|}} = 0.$$

Dizemos que f é diferenciável num conjunto A \subset D_f, se f for diferenciável em todos os pontos de A. Se uma das derivadas parciais não existe no ponto (x_0,y_0), f não é diferenciável neste ponto.

Seja (x_0, y_0) um ponto do domínio da função f(x,y). Se f(x,y) possui derivadas parciais \frac{\partial f}{ \partial x} e \frac{\partial f}{ \partial y} num conjunto A (aberto) que contém (x_0, y_0) e se essas derivadas parciais são contínuas em (x_0, y_0), então f é diferenciável em (x_0, y_0).

Diferenciabilidade | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Considere $$ f(x,y) = \frac{xy (x^2 – y^2)}{x^2 + y^2}; (x,y) \neq (0,0)$$ $$f(0,0) = 0.$$

a) Determine as derivadas parciais de f(x,y);

SOLUÇÃO: 

b) Esta função é diferenciável em todo o plano?

SOLUÇÃO: 

c) Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y).

SOLUÇÃO: 

d) Justifique o fato das derivadas parciais de segunda ordem mistas, \dfrac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) e \dfrac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) , serem diferentes.

SOLUÇÃO:

2) A função f(x,y) = \sqrt{|x| (1+y^2)} é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.

SOLUÇÃO: 

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