Diferenciabilidade | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Dizemos que a função f(x,y) é diferenciável no ponto (x_0, y_0) se as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) e \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) existem e se $$\lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)}{ \frac{f(x,y) – f(x_0, y_0) – \frac{\partial f}{\partial x} (x_0 , y_0) (x-x_0) – \frac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0) (y-y_0)}{\| (x,y) – (x_0, y_0) \|}} = 0.$$

Dizemos que f é diferenciável num conjunto A \subset D_f, se f for diferenciável em todos os pontos de A. Se uma das derivadas parciais não existe no ponto (x_0,y_0), f não é diferenciável neste ponto.

Seja (x_0, y_0) um ponto do domínio da função f(x,y). Se f(x,y) possui derivadas parciais \frac{\partial f}{ \partial x} e \frac{\partial f}{ \partial y} num conjunto A (aberto) que contém (x_0, y_0) e se essas derivadas parciais são contínuas em (x_0, y_0), então f é diferenciável em (x_0, y_0).

Diferenciabilidade | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Considere f(x,y) = \dfrac{xy^2}{x^2 + y^2} se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0)=0. Ela é diferenciável em todos os pontos de seu domínio?

Observe que para todos os pontos (x,y) \neq (0,0) temos:

$$\frac{\partial f}{ \partial x} (x,y) = \frac{(x2 +y^2) y^2 – 2x^3 y^2}{(x^2 + y^2)^2}$$

$$\frac{\partial f}{ \partial y} (x,y) = \frac{(x2 +y^2) 2xy – 2x y^3}{(x^2 + y^2)^2}$$

e ambas são contínuas para todos os pontos (x,y) \neq (0,0).

Logo, a função é diferenciável para todos os pontos (x,y) \neq (0,0).

Agora vamos olhar o que acontece no ponto (x,y) = (0,0).

Usando a definição podemos facilmente encontrar \dfrac{\partial f}{ \partial x} (0,0) = \dfrac{\partial f}{ \partial y} (0,0) = 0.

Assim, usando a definição de diferenciabilidade no ponto (x,y) = (0,0) temos o seguinte limite: $$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{xy^2}{\sqrt{(x^2 + y^2)^3}},$$ que não existe! Portanto, a função não é diferenciável na origem, apenas nos pontos fora dela.

2) Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis:

a) f(x,y) = x^2 + y^2

Como $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\;\;\;e\;\;\;\frac{\partial f}{\partial y}=2y$$ são contínuas em todo plano, então a função é diferenciável em todo ponto do plano.

b) f(x,y) = 3xy^2+4x^2y + 2xy

Como $$\frac{\partial f}{\partial x}=3y^2 +8xy +2y\;\;\;e\;\;\;\frac{\partial f}{\partial y}=6xy + 4x^2 + 2x$$ são contínuas em todo plano, então a função é diferenciável em todo ponto do plano.

c) f(x,y) = \frac{x^4}{x^2+y^2} se (x,y) \neq (0,0), e f(0,0) = 0.

Se (x,y) \neq (0,0), então $$\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{4x^3(x^2+y^2) – 2x^5}{x^2 + y^2}\;\;\;e\;\;\;\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{-x^4y}{x^2 + y^2}.$$

Como ambas derivadas parciais são contínuas \forall (x,y) \neq (0,0), então a função é diferenciável nesses pontos.

No caso em que (x,y) = (0,0), temos que $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0$$ e usando a definição de diferenciabilidade temos que $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^4}{\sqrt{(x^2 + y^2)^3}}}=\lim_{t \rightarrow 0}{\frac{\alpha ^4 t}{\sqrt{(\alpha ^2 + \beta ^2)^3}}}=0.$$

Portanto, essa função é diferenciável em todo ponto do plano.

3) Mostre que a função f(x,y) = \sqrt{|x|} \sin{y} é diferenciável na origem, mas sua derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} é descontínua neste ponto.

De forma simples e direta podemos perceber que $$ f(0,0) = 0\;\;\;e\;\;\; \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0.$$

Usando a definição de diferenciabilidade temos que $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{\sqrt{|x|} \sin{y}}{\sqrt{x^2 + y^2}}}=0.$$

Logo, a função é diferenciável em (0,0).

Como $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{1}{2}sen \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right); \;\;\; x>0$$ $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -\frac{1}{2}sen \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right); \;\;\; x<0$$

Observando que $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) =0$$ e $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0^{+},0)}{\frac{1}{2}sen \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)} \neq 0; \;\;\; \lim_{(x,y) \rightarrow (0^{-},0)}{\frac{1}{2}sen \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)} \neq 0$$ podemos concluir que \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) é contínua em (0,0).

4) Seja f(x,y) = cos(xy) + x^3y^3:

a) Determine as derivadas parciais e o vetor gradiente de f(x,y);

SOLUÇÃO: 

Para os pontos fora da origem, temos que: $$ \frac{\partial f}{\partial x} = -y sen(xy) + 3x^2y^3; $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = -x sen(xy) + 3x^3y^2; $$

Portanto, $$ \nabla f(x,y) = (-y sen(xy) + 3x^2y^3 , -x sen(xy) + 3x^3y^2)$$

b) Esta função é diferenciável em todo o plano?

SOLUÇÃO: 

Como as derivadas parciais são contínuas em todo o plano, então f(x,y) é diferenciável em todo o plano.

c) Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y).

SOLUÇÃO:

Temos que: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -y^2 cos(xy) + 6xy^3; $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -x^2 cos(xy) + 6x^3y; $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x  \partial y} = -sen(xy) – xy cos(xy) + 9x^2y^2 = \frac{\partial^2 f}{\partial y  \partial x} . $$

d) Esta função é duas-vezes diferenciável? 

SOLUÇÃO:

Está é uma função duas vezes diferenciável, pois cada uma das derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y) é contínua em todo o plano.

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