Derivadas Parciais de Segunda Ordem | Funções de Várias Variáveis

Nesse artigo queremos estabelecer o conceito de Derivadas Parciais de Segunda Ordem para Funções de Várias Variáveis a Valores Reais. Também chamadas de campos escalares, em geral estas são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar.

Vamos apresentar esse conceito através de funções com domínio no \mathbb{R} ^2 simplesmente pela facilidade em estabelecer gráficos e representações do domínio, e também por serem as funções que mais aparecem em aplicações de engenharia, por exemplo.

Derivadas Parciais de Segunda Ordem

Seja a função z=f(x,y).

As derivadas parciais de segunda ordem de f são as funções \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right), \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) e \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).

EXEMPLO

Seja f(x,y) = 4x^5y^4-6x^2y+3. Daí,

1. \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(20x^4y^4 - 12xy\right) = 80x^3y^4 - 12y
2. \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(16x^5y^3-6x^2\right) = 80 x^4y^3-12x
3. \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(20x^4y^4 - 12xy\right) = 80 x^4y^3-12x
4. \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(16x^5y^3-6x^2\right) = 48x^5y^2

Função Duas Vezes Diferenciável

Uma função f(x,y) é dita duas vezes diferenciável no ponto (x_0,y_0), se as derivadas parciais de segunda ordem de f existem e são contínuas neste ponto.

Teorema de Schwarz

Seja f:A\subset \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{R}, A aberto. Se f for duas vezes diferenciável em A, então $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y).$$

EXEMPLO

Seja $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{rl}
\frac{xy^3}{x^2 + y^2}; & (x,y)\neq (0,0)\\
\\
0: & (x,y)= (0,0)\\
\end{array} \right.$$

Temos que:

$$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h,0) – f(0,0)}{h} = 0$$

e

$$\frac{\partial f}{\partial y} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(0,h) – f(0,0)}{h} = 0$$

Logo,

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \left\{ \begin{array}{rl}\frac{y^3(x^2+y^2) - 2x^2y^3}{(x^2 + y^2)^2}; & (x,y)\neq (0,0)\\\\0; & (x,y)= (0,0)\\\end{array} \right.

e

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \left\{ \begin{array}{rl}\frac{3xy^2(x^2+y^2) - 2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}; & (x,y)\neq (0,0)\\\\0; & (x,y)= (0,0)\\\end{array} \right.

Note que,

$$\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(h,0) – \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h} = 0$$

e

$$\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,h) – \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{h} = 1$$

Ou seja, $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) \neq \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y).$$ Isso se dá pelo fato de f não ser duas vezes diferenciável no ponto (0,0).

Exercícios Resolvidos

1) Seja f(x,y) = cos(xy) + x^3y^3:

a) Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y).

SOLUÇÃO: Temos que: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -y^2 cos(xy) + 6xy^3; $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -x^2 cos(xy) + 6x^3y; $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x  \partial y} = -sen(xy) – xy cos(xy) + 9x^2y^2 = \frac{\partial^2 f}{\partial y  \partial x} . $$

d) Esta função é duas-vezes diferenciável? Em caso afirmativo, calcule seu hessiano.

SOLUÇÃO: Está é uma função duas vezes diferenciável, pois cada uma das derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y) é contínua em todo o plano.

Desta forma $$H(x,y) = ( -y^2 cos(xy) + 6xy^3)(-x^2 cos(xy) + 6x^3y) – (-sen(xy) – xy cos(xy) + 9x^2y^2)^2 .$$

2) Considere $$ f(x,y) = \frac{xy (x^2 – y^2)}{x^2 + y^2}; (x,y) \neq (0,0)$$ $$f(0,0) = 0.$$

a) Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y).

SOLUÇÃO: Neste caso, as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y) fora da origem são dadas por:

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{12\,x\,{y}^{5}-4\,{x}^{3}\,{y}^{3}}{{y}^{6}+3\,{x}^{2}\,{y}^{4}+3\,{x}^{4}\,{y}^{2}+{x}^{6}}$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -\frac{{y}^{6}+9\,{x}^{2}\,{y}^{4}-9\,{x}^{4}\,{y}^{2}-{x}^{6}}{{y}^{6}+3\,{x}^{2}\,{y}^{4}+3\,{x}^{4}\,{y}^{2}+{x}^{6}}$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -\frac{{y}^{6}+9\,{x}^{2}\,{y}^{4}-9\,{x}^{4}\,{y}^{2}-{x}^{6}}{{y}^{6}+3\,{x}^{2}\,{y}^{4}+3\,{x}^{4}\,{y}^{2}+{x}^{6}}$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{4\,{x}^{3}\,{y}^{3}-12\,{x}^{5}\,y}{{y}^{6}+3\,{x}^{2}\,{y}^{4}+3\,{x}^{4}\,{y}^{2}+{x}^{6}}$$

Agora, na origem, obtemos:

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (0,0) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\frac{\partial f}{\partial x} (h,0) – \frac{\partial f}{\partial x} (0,0)}{h}} = 0$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{\frac{\partial f}{\partial x} (0,h) – \frac{\partial f}{\partial x} (0,0)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{-h}{h}} = -1$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\frac{\partial f}{\partial y} (h,0) – \frac{\partial f}{\partial x} (0,0)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{h}{h}} = 1$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (0,0) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\frac{\partial f}{\partial y} (0,h) – \frac{\partial f}{\partial x} (0,0)}{h}} = 0$$

b) Justifique o fato das derivadas parciais de segunda ordem mistas, \dfrac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) e \dfrac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) , serem diferentes.

SOLUÇÃO: Observe que

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x,y)} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{-\frac{{y}^{6}+9\,{x}^{2}\,{y}^{4}-9\,{x}^{4}\,{y}^{2}-{x}^{6}}{{y}^{6}+3\,{x}^{2}\,{y}^{4}+3\,{x}^{4}\,{y}^{2}+{x}^{6}}}. $$ Usando as curvas \gamma _1 (t) = (t,0) e \gamma _2 (t) = (0,t), vemos que

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x,0)} = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{t^6}{t^6}} = 1  $$

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,y)} = \lim_{t \rightarrow 0}{\frac{-t^6}{t^6}} = -1. $$

Portanto o limite \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (x,y)} não existe, logo essa derivada parcial de segunda ordem não pode ser contínua. Portanto a função não é duas vezes diferenciável, contrariando o Teorema de Schwarz e justificando a razão de \dfrac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) e \dfrac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) , serem diferentes.

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