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Um olhar introdutório sobre os fundamentos matemáticos por trás da técnica de criptografia do protocolo do bitcoin, baseado em curvas elípticas.
Bitcoin é uma nova rede de pagamentos descentralizada que começou operando em janeiro de 2009. Essa nova tecnologia foi desenvolvida e anunciada por um um grupo de autores sob o pseudônimo de Satoshi Nakamoto, em um artigo que foi divulgado publicamente em uma lista de discussão cyberpunk.
Neste nosso artigo, iremos nos concentrar na matemática, mais precisamente criptografia baseada nas curvas elípticas, como uma característica da segurança e eficácia do protocolo Bitcoin.
Esta técnica de segurança digital usada em criptomoedas se resume a um algoritmo matemático em uma rede que gerencia dados de transações e constrói o consenso da maioria entre os participantes.
O que São Criptomoedas?
A criptomoedas são ativos financeiros de base digital que estão estruturadas em técnicas criptográficas para regular sua geração e verificar a transferência de fundos, sem a necessidade de um terceiro elemento que garanta a confiabilidade.
Estas criptomoedas são desenvolvidas sobre a tecnologia blockchain que, em suma, é um registro público seguro que pode ser programado para gravar informações digitais.
A primeira e mais conhecida criptomoeda foi proposta em 2008 por desenvolvedores que assinavam sob o pseudônimo Satoshi Nakamoto no artigo “Bitcoin: A Peer-to-peer Electronic Cash System”. Esta criptomeda é o Bitcoin!
Como Funciona o Bitcoin?
Em resumo, o Bitcoin consiste numa rede de computadores conectados através da internet chamados nós. À priori, qualquer pessoa com um computador e conexão com a internet pode ingressar na rede executando um software.
Ou seja, os próprios Bitcoins não são armazenados centralmente ou localmente e, portanto, nenhuma entidade é seu guardião.
Eles existem como registros em um livro-razão distribuído, chamado cadeia de blocos (ou blockchain), cujas cópias são compartilhadas por uma rede voluntária de computadores conectados.
“Possuir” um Bitcoin significa simplesmente ter a capacidade de transferir o controle dele para outra pessoa criando um registro da transferência na cadeia de blocos.
O que concede essa habilidade? Acesso a um par de chaves privada e pública ECDSA, que é uma abreviação do termo Algoritmo de Assinatura Digital de Curva Elíptica.
A Criptografia das Curvas Elípticas – ECDSA
Agora, a matemática entra com muito mais força na criptografia do bitcoin.
A Criptografia de Curva Elíptica (ECC) é um dos tipos de criptografia mais poderosos, mas menos compreendidos, em amplo uso atualmente, sendo a melhor alternativa a modelos que se valem da fatoração para conseguir boas funções de alçapão.
Também conhecidas como função arapuca ou função armadilha, a função alçapão é um tipo de função que é fácil de computar em uma direção, mas difícil de computar na direção oposta (achar a inversa) sem uma informação especial, chamada de “alçapão”.
Isso posto, podemos definir uma curva elíptica como o conjunto de pontos que satisfazem uma equação matemática específica na forma $$y^2 = x^3+ax+b.$$ Estas curvas elípticas são os pontos de ajuste que satisfazem uma equação em duas variáveis com grau dois em uma das variáveis e três na outra.
Um criptossistema de curva elíptica como os das criptomoedas pode ser definido escolhendo um número primo como máximo, uma equação de curva elíptica e um ponto público na curva.
Uma chave privada é um número priv e uma chave pública é o ponto público pontilhado consigo mesmo priv vezes. O cálculo da chave privada a partir da chave pública neste tipo de criptossistema é chamado de função logarítmica discreta de curva elíptica. Esta acaba por ser a função alçapão deste modo de criptografia.
Mas saber disso está longe de ser útil para quebrar este tipo de criptografia. O logaritmo discreto da curva elíptica é o problema difícil que sustenta a criptografia da curva elíptica. Apesar de quase três décadas de pesquisa, os matemáticos ainda não encontraram um algoritmo para resolver esse problema que melhore a abordagem ingênua.
Especificamente para o Bitcoin, temos o ECDSA (Algoritmo de Assinatura Digital de Curva Elíptica), que é um processo que usa uma curva elíptica e um campo finito para “assinar” os dados de forma que terceiros possam verificar a autenticidade da assinatura enquanto o signatário mantém a capacidade exclusiva de criar a assinatura.
Grosso modo, para não ter que aprofundar muito em termos técncios, o ECDSA usa curvas elípticas no contexto específico que altera muito sua aparência, mas não suas equações subjacentes ou propriedades especiais.
Com o bitcoin, os dados assinados são a transação que transfere a propriedade. O ECDSA possui procedimentos separados para assinatura e verificação. Cada procedimento é um algoritmo composto de algumas operações aritméticas. O algoritmo de assinatura usa a chave privada e o processo de verificação usa a chave pública.
As Curvas Elípticas e o Bitcoin
Um protocolo como o bitcoin seleciona um conjunto de parâmetros para a curva elíptica e sua representação que é fixa para todos os usuários do protocolo. Os parâmetros incluem a equação usada, o módulo primo do campo e um ponto base que cai na curva.
O campo finito, no contexto do ECDSA, pode ser pensado como um intervalo predefinido de números positivos dentro do qual cada cálculo deve cair. Qualquer número fora desse intervalo “envolve” para cair dentro do intervalo.
A maneira mais simples de pensar sobre isso é calcular os restos, representados pelo operador módulo (mod), como em qualquer curso introdutório de teoria dos números.
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A ordem do ponto base, que não é selecionada independentemente, mas é uma função dos outros parâmetros, pode ser pensada graficamente como o número de vezes que o ponto pode ser adicionado a si mesmo até que sua inclinação seja infinita, ou uma linha vertical.
O ponto base é selecionado de modo que a ordem seja um número primo grande. Ou seja, o Bitcoin usa números muito grandes para seu ponto base, módulo primo e ordem.
De fato, todas as aplicações práticas do ECDSA usam valores enormes, pois a segurança do algoritmo depende desses valores serem grandes e, portanto, impraticáveis para força bruta ou engenharia reversa.
A Hipótese de Riemann – Um Problema de Um Milhão de Dólares e que causaria instabilidades ao Bitcoin
Esta lógica criptográfica do Bitcoin seria eliminada do dia para a noite se existisse uma fórmula para encontrar números primos, ou menos quantos deles existem antes de determinado número.
Neste caso, toda a nossa criptografia estaria ameaçada.
Se alguém conseguisse estabelecer uma fórmula que dissesse quantos números primos existem até determinado algarismo iria revolucionar a criptografia, impactando desde a segurança dos sistemas computacionais até mesmo algumas teorias sobre a origem do universo.
O matemático alemão Georg Bernhard Riemann (1826-1866) propôs uma fórmula que descrevia essa distribuição dos números primos. Essa fórmula ficou conhecida como Hipótese de Riemann e já foi testada corretamente para os primeiros um bilhão e quinhentos mil números primos.
Não à toa a Hipótese de Riemann é um dos sete problemas para o Século XXI que o Clay Institute oferece um milhão de dólares pela sua solução.
Mas até lá, sem dúvidas, o bitcoin é “apoiado pela matemática”, sendo as teorias criptográficas modernas as garantidoras da confiança na robustez do sistema, que permite a forma única de propriedade do bitcoin.
Referências Bibliográficas:
- Eric Rykwalder – “The Math Behind the Bitcoin Protocol”.
- Cyril Grunspan e Ricardo Pérez-Marco – “The Mathematics of Bitcoin”.
Leia Mais:
- Equação do Jogador: Conheça a matemática da aposta esportiva
- Integrais Elípticas | Funções Hiperbólicas e Comprimento de Arco
- Problemas do Milênio | Os 7 Problemas de Matemática para o Século XXI
- Mileva Maric | A Coautora da Teoria da Relatividade Especial?
Os Dois Melhores Livros Sobre Bitcoin em Português:
- Chris Burniske e Jack Tatar – “Criptoativos: O guia do investidor inovador para o bitcoin e além”. [link do livro]
- Phil Champagne– “O Livro de Satoshi”. [link do livro]