Continuidade de Campos Escalares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Campos Escalares, ou Funções de Várias Variáveis a Valores Reais, em geral são funções na forma f: A \subset \mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R}, que associa a cada n-upla de \mathbb{R} ^n um escalar. Nesse artigo queremos estabelecer uma lista de exercícios sobre o conceito de Continuidade para esse tipo de função.

Quando consideramos funções de duas variáveis, seu domínios são conjuntos de pontos (x,y) do plano, que podem ser o plano todo ou conjuntos mais restritos, como retângulos, elipses, semiplanos, quadrantes, etc.

Você precisa passar em cálculo? Não se preocupe, nós podemos ajudar! Clique aqui e descubra como podemos facilitar sua aprovação.

Exercícios Resolvidos Sobre Continuidade de Funções de Várias Variáveis

1) Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto indicado:

a) f(x,y) = x\sin{\left( \dfrac{1}{y}\right)} se (x,y) \neq (x,0) e f(x,0) = 0; no ponto (0,0).

Como $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{x\sin{\left( \frac{1}{y}\right)}} = \lim_{t \rightarrow 0}{\alpha t\sin{\left( \frac{1}{\beta t}\right)}} =0$$ por uma consequência do teorema do confronto, então $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{x\sin{\left( \frac{1}{y}\right)}} = 0 = f(0,0).$$ Portanto, a função é contínua no ponto (0,0).

b) f(x,y) = \dfrac{\sin{(x^2+y^2)}}{1 - \cos{\sqrt{x^2+y^2}}} se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0) = 2; no ponto (0,0).

Como $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{\sin{(x^2+y^2)}}{1 – \cos{\sqrt{x^2+y^2}}} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin{(t^2 (\alpha ^2+\beta ^2)}}{1 – \cos{\sqrt{t^2 (\alpha ^2+\beta ^2)}}} = $$ $$= \lim_{t \rightarrow 0} \frac{2 \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2} t cos (t^2 (\alpha ^2+\beta ^2))}{sen(t \sqrt{\alpha ^2+\beta ^2} )} = 2$$ pela regra de L’Hospital.

Portanto, a função é contínua no ponto (0,0).

2. Considere f(x,y) = \dfrac{xy^2}{x^2 + y^2} se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0)=0. Esta função é contínua em (x,y) = (0,0)?

Observe que $$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^2} = lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} x \frac{y^2}{x^2 + y^2} = 0$$, pois temos uma função limitada multiplicada por uma que tende a zero.

Logo, $$lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0).$$ Portanto, função é contínua em (x,y) = (0,0).

3) Verifique se a função f(x,y) = \dfrac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)} , se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0) = 1 é contínua na origem.

SOLUÇÃO:

Neste caso $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)sen(y)}{xy}}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)}{x} \frac{sen(y)}{y}}}. $$

Observe que, $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{sen(x)}{x}} = 1$$ $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(y)}{y}} = \lim_{y \rightarrow 0}{\frac{sen(y)}{y}} = 1$$ pelo Primeiro Limite Fundamental.

Além disso, observe que se fizermos z = xy , então (x,y) \rightarrow (0, 0) \Rightarrow z \rightarrow 0 e, usando novamente o Primeiro Limite Fundamental,

$$ =\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{sen(xy)}{xy}} = \lim_{ z \rightarrow 0}{ \frac{sen(z)}{z}} = 1.$$

Portanto, $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)}{x} \frac{sen(y)}{y}}} = \frac{1}{1 \times 1} = 1. $$

Desta forma, $$f(0,0) = 1 = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}}$$ Portanto esta função é contínua na origem.

4) Verifique se a função f(x,y) = \dfrac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)} , se (x,y) \neq (0,0) e f(0,0) = 1 é contínua na origem.

SOLUÇÃO:

Neste caso $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)sen(y)}{xy}}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)}{x} \frac{sen(y)}{y}}}. $$

Observe que, $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{sen(x)}{x}} = 1$$ $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(y)}{y}} = \lim_{y \rightarrow 0}{\frac{sen(y)}{y}} = 1$$ pelo Primeiro Limite Fundamental.

Além disso, observe que se fizermos z = xy , então (x,y) \rightarrow (0, 0) \Rightarrow z \rightarrow 0 e, usando novamente o Primeiro Limite Fundamental,

$$ =\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{ \frac{sen(xy)}{xy}} = \lim_{ z \rightarrow 0}{ \frac{sen(z)}{z}} = 1.$$

Portanto, $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}} = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{\frac{sen(xy)}{xy}}{\frac{sen(x)}{x} \frac{sen(y)}{y}}} = \frac{1}{1 \times 1} = 1. $$


Apoie Nosso Trabalho:

Apoie nosso trabalho fazendo um pix de qualquer valor: Chave Pix: 06713646697


Desta forma, $$f(0,0) = 1 = \lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)}{\frac{sen(xy)}{sen(x) sen(y)}}$$ Portanto esta função é contínua na origem.

5) Escreva o conjunto em que a função abaixo é contínua:

a) f(x,y) = x^2 y - x^3y^3-x^4 y^4

SOLUÇÃO: 

Como a função é um polinômio em duas variáveis, o domínio de continuidade é o plano \mathbb{R} ^{2} .

b) f(x,y) = \ln{\left( \dfrac{x+y}{x^2 - y^2} \right)}

SOLUÇÃO: 

Neste caso o conjunto de continuidade é dado por $$ \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; \frac{x+y}{x^2 – y^2} > 0 \right\}$$, ou seja, $$ \left\{ (x,y) \in \mathbb{R} ^2 ; x > y \right\}.$$

Leia Mais:

Assista Nossa Vídeo-Aula Sobre Continuidade de Funções de Várias Variáveis

Banner do Curso Completo de Matemática destacando desconto de R$297 por R$47, com botão amarelo 'Quero Garantir Minha Vaga' e opções de pagamento em até 12 vezes no cartão.

1 comentário em “Continuidade de Campos Escalares | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos”

  1. Pingback: Continuidade de Funções de Várias Variáveis

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

PRECISANDO DE AJUDA COM SEUS EXERCÍCIOS SOBRE ESTE CONTEÚDO? Entre em contato com a gente via WhatsApp clicando aqui.