1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Derivadas Parciais

Neste artigo, apresentamos uma lista de exercícios resolvidos sobre as derivadas parciais, em pontos definidos ou não pela função. Além disso, entenderá um pouco mais sobre as derivadas de segunda ordem e como podem ser calculadas.

Dada uma função f(x_1, x_2, ..., x_n) a derivada parcial de f no ponto P_0 = (p_1,p_2,...,p_n) com relação à variável x_i é dada por $$\frac{\partial f}{\partial x_i} (p_1,p_2,…,p_n) \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(p_1 ,…, p_i +h, … , p_n) – f(p_1,…,p_i,…,p_n)}{h}}.$$

As derivadas parciais são funções de várias variáveis como a função original que as gerou. Nesse sentido estrito não existe nada de mais com elas, e o mesmo acontece com as derivadas parciais segundas, terceiras, etc.

1ª Lista de Exercícios Resolvidos Sobre Derivadas Parciais

1) Determine as derivadas parciais e o vetor gradiente das funções abaixo:

a) z=\cos{xy}

SOLUÇÃO: $$\nabla z = \left(  -y sen(xy) , -xsen(xy) \right)$$

b) f(x,y)=e^{-x^2-y^2}

SOLUÇÃO: $$\nabla f(x,y) = \left(  -2x e^{-x^2-y^2}, -2ye^{-x^2-y^2} \right)$$

c) z = x^2 \ln\left( 1+x^2+y^2 \right)

SOLUÇÃO: $$\nabla f(x,y) = \left(  \frac{2x^3}{1+x^2+y^2} +2x \ln(1+x^2+y^2), \frac{x^2}{1+x^2+y^2} +2y \right)$$

d) f(x,y) = 3x^2y^3-5x^3y^2

SOLUÇÃO: 

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} & = & 6\,x\,{y}^{3}-15\,{x}^{2}\,{y}^{2} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = & 9\,{x}^{2}\,{y}^{2}-10\,{x}^{3}\,y \\ \nabla f (x,y) & = & \left( 6\,x\,{y}^{3}-15\,{x}^{2}\,{y}^{2} , 9\,{x}^{2}\,{y}^{2}-10\,{x}^{3}\,y \right) \end{eqnarray}

e) f(x,y) = e^{x/y}

SOLUÇÃO: 

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} & = & \frac{{e}^{\frac{x}{y}}}{y} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = & -\frac{x\,{e}^{\frac{x}{y}}}{{y}^{2}} \\ \nabla f (x,y) & = & \left( \frac{{e}^{\frac{x}{y}}}{y} , -\frac{x\,{e}^{\frac{x}{y}}}{{y}^{2}} \right) \end{eqnarray}

f) f(x,y) = x^3 e^{y^2}

SOLUÇÃO: 

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} & = & 3\,{x}^{2}\,{e}^{{y}^{2}}\\ \frac{\partial f}{\partial y} & = & 2\,{x}^{3}\,y\,{e}^{{y}^{2}} \\ \nabla f (x,y) & = & \left( 3\,{x}^{2}\,{e}^{{y}^{2}} , 2\,{x}^{3}\,y\,{e}^{{y}^{2}} \right) \end{eqnarray}

g) f(x,y) = cos \left( \sqrt{1 +x^2y^4} \right)

SOLUÇÃO: 

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} & = & -\frac{x\,{y}^{4}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{{x}^{2}\,{y}^{4}+1}\right) }{\sqrt{{x}^{2}\,{y}^{4}+1}} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = & -\frac{2\,{x}^{2}\,{y}^{3}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{{x}^{2}\,{y}^{4}+1}\right) }{\sqrt{{x}^{2}\,{y}^{4}+1}}\\ \nabla f (x,y) & = & \left( -\frac{x\,{y}^{4}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{{x}^{2}\,{y}^{4}+1}\right) }{\sqrt{{x}^{2}\,{y}^{4}+1}} , -\frac{2\,{x}^{2}\,{y}^{3}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{{x}^{2}\,{y}^{4}+1}\right) }{\sqrt{{x}^{2}\,{y}^{4}+1}} \right) \end{eqnarray}

h) f(x,y) = \dfrac{sen \left( x^2 \sqrt{y} \right)}{cos \left( y^2 \sqrt{x} \right)};

SOLUÇÃO: 

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} & = & \frac{\mathrm{sen}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,{y}^{2}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }{2\,\sqrt{x}\,{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }^{2}}+\frac{2\,x\,\mathrm{cos}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,\sqrt{y}}{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) } \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = & \frac{2\,\sqrt{x}\,\mathrm{sen}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,y\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }{{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }^{2}}+\frac{{x}^{2}\,\mathrm{cos}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) }{2\,\sqrt{y}\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) } \\ \nabla f (x,y) & = & \left( \frac{\mathrm{sen}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,{y}^{2}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) +4\,{x}^{\frac{3}{2}}\,\mathrm{cos}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,\sqrt{y}\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }{2\,\sqrt{x}\,{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }^{2}} , \\ \frac{4\,\sqrt{x}\,\mathrm{sen}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,{y}^{\frac{3}{2}}\,\mathrm{sen}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) +{x}^{2}\,\mathrm{cos}\left( {x}^{2}\,\sqrt{y}\right) \,\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }{2\,\sqrt{y}\,{\mathrm{cos}\left( \sqrt{x}\,{y}^{2}\right) }^{2}} \right) \end{eqnarray}

i) f(x,y,z) = sen \left( \sqrt{x^2+y^2+z^2 -4} \right);

SOLUÇÃO: 

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} & = & \frac{x\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}\right) }{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}} \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = & \frac{y\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}\right) }{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}} \\ \frac{\partial f}{\partial z} & = & \frac{z\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}\right) }{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}}\\ \nabla f (x,y) & = & \left(\frac{x\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}\right) }{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}} ,  \frac{y\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}\right) }{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}} , \\ \frac{z\,\mathrm{cos}\left( \sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}\right) }{\sqrt{{z}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}-4}} \right) \end{eqnarray}

2) Suponha que para todo t, f(t^2, 2t) = t^3 - 3t. Mostre que $$\frac{\partial f}{\partial x} (1,2)= -\frac{\partial f}{\partial y}(1,2).$$

Aqui temos a composição de uma função f(x, y) não determinada com a curva \gamma (t) = (t^2, 2t).

Pela regra da cadeia, temos que: $$\frac{df}{dt}f(t^2, 2t) = \frac{\partial f}{\partial x}(t^2, 2t).(t^2)’+\frac{\partial f}{\partial y}(t^2, 2t).(2t)’$$ $$=2t \frac{\partial f}{\partial x}(t^2, 2t) +2 \frac{\partial f}{\partial y}(t^2, 2t)$$

Como f(t^2, 2t) = t^3 - 3t, então $$ 3t^2 – 3 = \frac{df}{dt} (t^2, 2t) = 2t \frac{ \partial f}{ \partial x} (t^2, 2t) + 2 \frac{ \partial f}{ \partial y} (t^2, 2t).$$

Notando que \gamma (1) = (1, 2) e substituindo t=1 na igualdade acima, temos que

$$3-3 = 2 \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) +2 \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 0 = 2 \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) +2 \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 2 \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2)= – 2 \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2).$$

Portanto, $$ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2)= – \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2).$$

3) Seja f(x,y) = cos(xy) + x^3y^3:

a) Determine as derivadas parciais e o vetor gradiente de f(x,y);

SOLUÇÃO: Para os pontos fora da origem, temos que: $$ \frac{\partial f}{\partial x} = -y sen(xy) + 3x^2y^3; $$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} = -x sen(xy) + 3x^3y^2; $$

Portanto, $$ \nabla f(x,y) = (-y sen(xy) + 3x^2y^3 , -x sen(xy) + 3x^3y^2)$$

b) Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y).

SOLUÇÃO: Temos que: $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -y^2 cos(xy) + 6xy^3; $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -x^2 cos(xy) + 6x^3y; $$ $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x  \partial y} = -sen(xy) – xy cos(xy) + 9x^2y^2 = \frac{\partial^2 f}{\partial y  \partial x} . $$

4) Considere $$ f(x,y) = \frac{xy (x^2 – y^2)}{x^2 + y^2}; (x,y) \neq (0,0)$$ $$f(0,0) = 0.$$

a) Determine as derivadas parciais de f(x,y);

SOLUÇÃO: Neste caso, $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y\,\left( {x}^{2}-{y}^{2}\right) }{{y}^{2}+{x}^{2}}+\frac{2\,{x}^{2}\,y}{{y}^{2}+{x}^{2}}-\frac{2\,{x}^{2}\,y\,\left( {x}^{2}-{y}^{2}\right) }{{\left( {y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{2}} = -\frac{{y}^{5}-4\,{x}^{2}\,{y}^{3}-{x}^{4}\,y}{{y}^{4}+2\,{x}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{4}}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2\,x\,{y}^{2}}{{y}^{2}+{x}^{2}}+\frac{x\,\left( {x}^{2}-{y}^{2}\right) }{{y}^{2}+{x}^{2}}-\frac{2\,x\,{y}^{2}\,\left( {x}^{2}-{y}^{2}\right) }{{\left( {y}^{2}+{x}^{2}\right) }^{2}} = -\frac{x\,{y}^{4}+4\,{x}^{3}\,{y}^{2}-{x}^{5}}{{y}^{4}+2\,{x}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{4}}$$

Na origem, $$ \frac{\partial f}{\partial x} (0,0) = \lim_{ h \rightarrow 0}{\frac{f(0+h,0) – f(0,0)}{h}} = \lim_{ h \rightarrow 0}{\frac{f(h,0)}{h}} = \lim_{ h \rightarrow 0}{\frac{0}{h}} =0$$ $$ \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) = \lim_{ h \rightarrow 0}{\frac{f(0,0+h) – f(0,0)}{h}} = \lim_{ h \rightarrow 0}{\frac{f(0,h)}{h}} = \lim_{ h \rightarrow 0}{\frac{0}{h}} =0$$

b) Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y).

SOLUÇÃO: Neste caso, as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y) fora da origem são dadas por:

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{12\,x\,{y}^{5}-4\,{x}^{3}\,{y}^{3}}{{y}^{6}+3\,{x}^{2}\,{y}^{4}+3\,{x}^{4}\,{y}^{2}+{x}^{6}}$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = -\frac{{y}^{6}+9\,{x}^{2}\,{y}^{4}-9\,{x}^{4}\,{y}^{2}-{x}^{6}}{{y}^{6}+3\,{x}^{2}\,{y}^{4}+3\,{x}^{4}\,{y}^{2}+{x}^{6}}$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -\frac{{y}^{6}+9\,{x}^{2}\,{y}^{4}-9\,{x}^{4}\,{y}^{2}-{x}^{6}}{{y}^{6}+3\,{x}^{2}\,{y}^{4}+3\,{x}^{4}\,{y}^{2}+{x}^{6}}$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{4\,{x}^{3}\,{y}^{3}-12\,{x}^{5}\,y}{{y}^{6}+3\,{x}^{2}\,{y}^{4}+3\,{x}^{4}\,{y}^{2}+{x}^{6}}$$

Agora, na origem, obtemos:

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (0,0) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\frac{\partial f}{\partial x} (h,0) – \frac{\partial f}{\partial x} (0,0)}{h}} = 0$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{\frac{\partial f}{\partial x} (0,h) – \frac{\partial f}{\partial x} (0,0)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{-h}{h}} = -1$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\frac{\partial f}{\partial y} (h,0) – \frac{\partial f}{\partial x} (0,0)}{h}} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{h}{h}} = 1$$

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (0,0) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{\frac{\partial f}{\partial y} (0,h) – \frac{\partial f}{\partial x} (0,0)}{h}} = 0$$

5) Mostre que a função f(x,y) = \ln{\sqrt{x^2+y^2}} satisfaz a equação de Laplace $$\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = 0.$$

SOLUÇÃO: 

Podemos facilmente perceber que $$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{-2x^2+2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{2x^2-2y^2}{(x^2 + y^2)^2}.$$  Assim, $$\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = \frac{-2x^2+2y^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2x^2-2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = 0.$$

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