Equações Diferenciais Parciais | Uma Introdução aos Conceitos Básicos

Uma equação envolvendo uma ou mais derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis independentes é denominada Equação Diferencial Parcial. As equações diferenciais parciais (EDP’s) aparecem conectadas a vários problemas físicos e geométricos quando as funções envolvidas dependem de duas ou mais variáveis.

Estas variáveis podem ser o tempo e uma ou mais coordenadas no espaço. A maior ordem de derivação é denominada de ordem da equação. Abaixo, listamos alguns exemplos de equações diferenciais parciais de segunda ordem que são fruto de modelagens matemáticas de problemas físicos:

1. Equação da onda unidimensional $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$
2. Equação do calor $$\frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$
3. Equação de Laplace $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0$$
4. Equação de Poisson bidimensional $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$

ondec é uma constante, t é a variável tempo e x e y são as coordenadas cartesianas.

Definições Relativas a Equações Diferenciais Parciais

Uma equação diferencial parcial é uma equação que contém uma função uma variável dependente de duas ou mais variáveis independentes e suas derivadas parciais em relação a estas variáveis.

A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da mais alta derivada presente.

Um problema de valores de contorno envolvendo uma equação diferencial parcial busca todas as soluções da equação que satisfaçam a determinadas condições chamadas condições de contorno. Os teoremas relativos à existência e à unicidade de tais soluções chamam-se teoremas de existência e unicidade.

Solução das EDPs

A solução de uma EDP em alguma região R do espaço das variáveis independentes é uma função que satisfaz a equação para qualquer elemento de R.

Em geral, a quantidade de soluções de uma equação diferencial parcial é enorme.

A solução de uma equação diferencial parcial é qualquer função que satisfaça à equação identicamente.

A solução geral é uma solução que contém funções arbitrárias, em número igual à ordem da equação.

Uma solução particular da equação diferencial parcial é uma solução que pode ser obtida da solução geral mediante escolha particular das funções arbitrárias.

Uma solução singular é uma solução que não pode ser obtida da solução geral mediante escolha particular das funções arbitrárias.

A unicidade da solução de uma EDP será obtida através de informações adicionais que serão denominadas condições iniciais.

EXEMPLO

Observe que as funções u(x,y) = e^x \cos{y}, u(x,y) = x^2 + y^2$ e u(x,y) = \ln{(x^2 + y^2)} são soluções da equação $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0$$

O Princípio da Superposição.

O próximo resultado estabelece uma espécie de princípio da superposição para duas soluções de uma EDP homogênea.

Teorema da Superposição

Se u_1, u_2, ... , u_k são soluções quaisquer de uma EDP homogênea em alguma região, então $$u=c_1 u_1 + c_2 u_2+…+c_k u_k$$ sendo c_1, c_2, ... , c_n constantes quaisquer, é também solução de tal EDP na mesma região.

EXEMPLO

Um fato interessante do teorema acima é a restrição da combinação linear ser apenas entre duas soluções da EDP.

Observe que U(x,y) = a[ e^x \cos{y}] + b[ x^2 + y^2]+c[ \ln{(x^2 + y^2)}] é uma combinação linear de três soluções de \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0

Assim, $$\frac{\partial ^2 U}{\partial x^2} = \left[a\,{e}^{x}\,\mathrm{cos}\left( y\right) +\frac{2\,c\,{y}^{2}-2\,c\,{x}^{2}}{{y}^{4}+2\,{x}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{4}}+2\,b\right]$$

e $$\frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} =\left[-a\,{e}^{x}\,\mathrm{cos}\left( y\right) +\frac{2\,c\,{x}^{2}-2\,c\,{y}^{2}}{{y}^{4}+2\,{x}^{2}\,{y}^{2}+{x}^{4}}+2\,b\right]$$

Note que

$$\frac{\partial ^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} = 0 \Leftrightarrow b=0.$$

Ou seja, U(x,y) é solução da EDP se, e somente é combinação linear de u_1(x,y) = e^x \cos{y} e u_2(x,y) = \ln{(x^2 + y^2)}.

Linearidade das EDPs

A equação diferencial parcial linear geral de segunda ordem em duas variáveis independentes tem a forma $$A\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} + C \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+ D \frac{\partial u}{\partial x} + E\frac{\partial u}{\partial t} + Fu = G, $$ onde A,B,C,D,E e F podem depender de x e t , mas não de u .

Uma EDP de segunda ordem com variáveis independentes x e t que não tenham esta forma são chamadas de não-lineares.

Se G é identicamente nula, esta equação linear será chamada de homogênea, enquanto se G \neq 0 , a equação é chamada não-homogênea.

Ou seja, uma EDP é dita homogênea se é linear e se cada termo da equação contém ao menos a variável dependente ou alguma de suas derivadas.

São exemplos de equações homogêneas:

1. Equação da onda unidimensional $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$
2. Equação do calor $$\frac{\partial u}{\partial t} = c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$
3. Equação de Laplace $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=0$$

Já a Equação de Poisson bidimensional $$\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$ é homogênea somente se f(x,y)=0.

Obviamente, as generalizações para equações de ordem mais elevada são imediatas e análogas.

Classificação das EDPs

A equação de derivadas parciais linear de segunda ordem $$A\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} + C \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+ D \frac{\partial u}{\partial x} + E\frac{\partial u}{\partial t} + Fu = 0,$$ onde A,B,C,D,E e F são constantes reais, é

1. Hiperbólica se B^2 - 4AC>0;
2. Parabólica se B^2 - 4AC=0;
3. Elíptica se B^2 - 4AC<0;

EXEMPLO

Vamos classificar algumas equações diferenciais parciais:

1. $$3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t}.$$Reescrevendo a equação na forma $$3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} – \frac{\partial u}{\partial t} = 0$$ encontramos A=3, B=0\;\;\;e\;\;\; C=-1. Logo, B^2-4AC = 0, ou seja, a equação é parabólica.
2. Com um análise similar notamos que a equação $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t}$$ é hiperbólica e a equação $$3\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\frac{\partial u}{\partial t}$$ é elíptica.

Algumas Equações Diferenciais Parciais Importantes

EQUAÇÃO DAS CORDAS VIBRANTES

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$

Esta equação se aplica às pequenas vibrações transversais de uma corda flexível, fixa nas extremidades, tensa, tal como a corda de uma guitarra, ou um violino.

A função u(x,t) é o deslocamento de um ponto arbitrário x da corda no instante t . A constante c^2 = \dfrac{ \tau}{\mu} ; onde \tau é a tensão (constante) da corda e \mu é a massa (constante) por unidade de comprimento da corda.

Supõe-se que não haja forças externas atuando sobre a corda e que esta vibre somente em função de sua elasticidade.

A equação pode ser facilmente generalizada para dimensões mais elevadas como, por exemplo, no caso das vibrações de uma membrana ou de um tambor em duas dimensões.

Em duas dimensões, a equação é $$ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(  \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \right)$$

EQUAÇÃO DO CALOR

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \nabla ^2 u$$

Aqui u(x,y,z,t) é a temperatura no ponto (x,y,z) do sólido no instante t . A constante \kappa , chamada difusividade, é igual a \dfrac{K}{\sigma \mu} , onde se supõem constantes a condutividade térmica k , o calor específico  \sigma e a densidade (massa por unidade de volume) \mu .

Já \nabla ^2 u é o Laplaciano de u , que dado em coordenadas retangulares tridimensionais (x,y,z) , por $$ \nabla ^2 u= \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2} $$

EQUAÇÃO DE LAPLACE

$$ \nabla ^2 v = 0 $$

Esta equação ocorre em muitos setores, Na teoria da condução do calor, na teoria da gravitação universal ou da eletricidade. Nos dois últimos casos, v representa o potencial gravitacional ou elétrico, respectivamente. Por esta razão, a equação é comumente chamada de equação potencial.

O problema da resolução da equação \nabla ^2 v = 0 no interior de uma região R quando v é uma função dada na fronteira de R é frequentemente chamado um problema de Dirichlet.

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