Transformada Seno e Cosseno de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma primeira lista de exercícios resolvidos sobre as Transformadas Seno e Cosseno de Fourier.

Se f(x) é uma função ímpar, definimos \mathscr{F}_S\{ f(x) \} como a Transformada Seno de Fourier que é dada por $$\mathscr{F}_S\{ f(x) \} = \sqrt{\frac{2}{\pi} } \int\limits^{\infty}_{0}{f(x)\text{sen}{\alpha x}dx} = F_{S}(\alpha)$$ e sua Transformada Seno de Fourier Inversa é dada por $$\mathscr{F}_{S}^{-1}\{ F(\alpha) \} = \frac{2}{\pi}\int\limits^{\infty}_{0}{F(\alpha)\text{sen}{\alpha x}d\alpha} = f(x).$$

Analogamente, se f(x) é uma função par, então definimos $$\mathscr{F}_C\{ f(x) \} = \sqrt{\frac{2}{\pi} } \int\limits^{\infty}_{0}{f(x)\cos{\alpha x}dx} = F(\alpha)$$ como a Transfomada Cosseno de Fourier e $$\mathscr{F}_{C}^{-1}\{ F(\alpha) \} = \frac{2}{\pi}\int\limits^{\infty}_{0}{F(\alpha)\cos{\alpha x}d\alpha} = f(x).$$ como a Transformada Cosseno de Fourier Inversa.

Transformada Seno e Cosseno de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Demonstre as fórmulas abaixo:

a) \mathscr{F}_{S}\{e^{-x} cos(x) \} = \sqrt{\dfrac{2}{\pi} }\dfrac{\alpha ^3 }{\alpha ^4 + 4} ;

SOLUÇÃO: 

b) \mathscr{F}_{S}\{f(x) \} = \sqrt{\dfrac{2}{\pi} }\dfrac{\text{sen} ( \alpha \pi ) }{1- \alpha ^2} , onde $$ f(x) = \left\{ \begin{array} \text{sen} (x) ; & 0 \leq x \leq \pi \\ 0 ;& x> \pi \end{array} \right.;$$

SOLUÇÃO: 

c) \mathscr{F}_{S}\{xe^{ - a x} \} = \sqrt{\dfrac{1}{2\pi} }\dfrac{a \alpha }{ \left( \alpha ^2 + a^2 \right)^2 } ;

SOLUÇÃO: 

2) Considere a equação $$ \ddot{x} – \alpha ^2 x = f(t) \qquad ( 0 \leq t < \infty )$$ Com as condições de contorno \dot{x}(0) = b e x ( \infty ) < \infty . Aplique o método da transformada cosseno de Fourier para mostrar que $$ x(t) = – \frac{b}{ \alpha } e^{-\alpha t} – \frac{1}{2 \alpha } \int\limits_{0}^{\infty}{f (\varepsilon)\left[ e^{- \alpha | x- \varepsilon |} + e^{- \alpha (x + \varepsilon)} \right] d \varepsilon} .$$

SOLUÇÃO: 

3) (a) Determine a transformada co-seno de Fourier de f(x) = e^{-mx}, com m>0.

SOLUÇÃO: 

(b) Use o resultado anterior para mostrar que $$ \int \limits_{0}^{ \infty}{\frac{cos ( p v ) }{v^2 + \beta ^2} d v} = \frac{\pi}{2 \beta} e^{-p \beta}; \qquad ( p >0, \beta >0 )$$

SOLUÇÃO: Transformada Inversa de Fourier de cossenosvxpm

4) Calcule a Transformada de Fourier de Senos da função f(x) = e^{-ax}, com a>0.

SOLUÇÃO: 

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• Transformada de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Transformada de Fourier | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Transformada de Fourier | Uma Introdução aos Conceitos Básicos
• Solução da Equação da Onda Usando a Transformada de Laplace
  

Bibliografia do Artigo:

1. SPIEGEL, M. R. – “Análise de Fourier”.
2. KREYSZIG, E. –“Advanced Engineering Mathematics”.
3. BUTKOV, E. – “Física Matemática”