Transformada de Laplace | 3ª Lista de Exercícios Resolvidos

Se f(t) é uma função definida para todo t \geq 0, sua Transformada de Laplace é uma função na variável s, chamada de F(s) e denotada por \mathscr{L} (f) é dada pela integral F(s) = \mathscr{L} (f) = \int_{0}^{\infty}{e^{-st}f(t)dt} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\int_{0}^{T}{e^{-st}f(t)dt}}. A função dada f(t) é denominada de transformada inversa de F(s) e é denotada por \mathscr{L}^{-1} (F), ou seja, f(t) = \mathscr{L}^{-1} (F(s)).

3ª Lista de Exercícios Resolvidos sobre Transformada de Laplace

1) Utilize a definição de Transformada de Laplace para calcular as transformadas abaixo:

a) \mathscr{L}\{t\} =

SOLUÇÃO: 

Pela definição, e usando a integração por partes, temos que $$\mathscr{L}\{t\} = \int\limits_{0}^{\infty}{t e^{-st}dt} = \left[ \frac{-t e^{-st}}{s} \right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s} \int\limits_{0}^{\infty}{e^{-st}dt}.$$ Observando que \lim\limits_{t \rightarrow \infty}{\dfrac{-t e^{-st}}{s} } = 0 encontramos $$\mathscr{L}\{t\} = \frac{1}{s} \int\limits_{0}^{\infty}{e^{-st}dt} = \frac{1}{s} \mathscr{L}\{1\} = \frac{1}{s} \times \frac{1}{s} = \frac{1}{s^2}.$$

b) \mathscr{L}\{e^{-3t}\}=

SOLUÇÃO:

Pela definição temos que $$\mathscr{L}\{e^{-3t}\} = \int\limits_{0}^{\infty}{e^{-3t} e^{-st}dt} = \int\limits_{0}^{\infty}{e^{-(s+3)t} dt} = $$ $$ = \left[ \frac{-e^{-(s+3)t}}{s+3} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s+3}; \qquad s> -3.$$

c) \mathscr{L}\{sen{(2t)}\}=

SOLUÇÃO: 

Pela definição, e usando a integração por partes, temos que $$\mathscr{L}\{sen{(2t)}\} = \int\limits_{0}^{\infty}{sen{(2t)} e^{-st}dt} = $$ $$ = \left[ \frac{sen{(2t)} e^{-st}}{s} \right]_{0}^{\infty} + \frac{2}{s} \int\limits_{0}^{\infty}{cos{(2t)} e^{-st}dt} = \frac{2}{s} \int\limits_{0}^{\infty}{cos{(2t)} e^{-st}dt} = $$ $$= \frac{2}{s} \left[ \frac{cos{(2t)} e^{-st}}{s} \right]_{0}^{\infty} – \frac{2}{s} \int\limits_{0}^{\infty}{sen{(2t)} e^{-st}dt}  = \frac{2}{s^2} – \frac{4}{s^2}  \mathscr{L}\{sen{(2t)}\} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow\left[ 1 + \frac{4}{s^2}  \right] \mathscr{L}\{sen{(2t)}\} = \frac{2}{s^2} \Rightarrow \mathscr{L}\{sen{(2t)}\} = \frac{2}{s^2 +4}; \qquad s>0.$$

2) Calcule \mathscr{L}\{t^2e^{-2t}\} utilizando:

a) pela definição de Transformada de Laplace;

SOLUÇÃO: 

Novamente, usando a integração por partes: $$ \mathscr{L}\{t^2e^{-2t}\} = \int\limits_{0}^{\infty}{t^2 e^{-2(s+2)t}dt} = $$ $$ = \left[ \frac{t^2 e^{-2(s+2)t}}{s+2} \right]_{0}^{\infty} + \frac{2}{s+2} \int\limits_{0}^{\infty}{t e^{-2(s+2)t}dt} =$$ $$ = \frac{2}{s+2} \int\limits_{0}^{\infty}{t e^{-2(s+2)t}dt} ; \qquad s> -2 $$ $$ = \frac{2}{s+2} \times \mathscr{L}\{t^2e^{-2t}\} = \frac{2}{s+2} \times \frac{1}{(s+2)^2} = $$ $$ = \frac{2}{(s+2)^3}; \qquad s> -2 .$$

b) Usando a tabela de Transformadas de Laplace.

SOLUÇÃO: 

Usando a propriedade do deslocamento na frequência \mathscr{L}\{ e^{at}f(t) \} = F(s-a) e a tabela de Transformada de Laplace, encontramos $$ \mathscr{L}\{t^2e^{-2t}\} = \frac{2!}{(s+2)^3} = \frac{2}{(s+2)^3} .$$

3) Usando a tabela de Transformadas de Laplace e as propriedades adequadas, calcule:

a) \mathscr{L}\{cos(4t) e^{-2t}\};

SOLUÇÃO: 

Usando a propriedade do deslocamento na frequência \mathscr{L}\{ e^{at}f(t) \} = F(s-a) e a tabela de Transformada de Laplace, encontramos $$ \mathscr{L}\{cos(4t) e^{-2t}\} = \frac{s+2}{(s+2)^2 + 16}.$$

b) \mathscr{L}\{t^3 e^{5t}\};

SOLUÇÃO: 

Usando a propriedade do deslocamento na frequência \mathscr{L}\{ e^{at}f(t) \} = F(s-a) e a tabela de Transformada de Laplace, encontramos $$ \mathscr{L}\{t^3e^{5t}\} = \frac{3!}{(s-5)^4} = \frac{6}{(s-5)^4} .$$

4) Calcule as transformadas inversas abaixo:

a) \mathscr{L} ^{-1} \left\{ \dfrac{s}{s^2+6s+11} \right\}

SOLUÇÃO: 

Observe que s^2+6s+11 = (s+3)^2 + 2. Logo, $$ \frac{s}{s^2+6s+11} = \frac{s}{(s+3)^2 + 2} = \frac{s+3 -3}{(s+3)^2 + 2} = $$ $$ = \frac{s+3}{(s+3)^2 + 2} – \frac{3}{(s+3)^2 + 2} = \frac{s+3}{(s+3)^2 + 2} – \frac{3}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2}}{(s+3)^2 + 2}.$$

Portanto, $$ \mathscr{L} ^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2+6s+11} \right\} = \mathscr{L} ^{-1} \left\{\frac{s+3}{(s+3)^2 + 2} \right\} – \frac{3}{\sqrt{2}} \mathscr{L} ^{-1} \left\{ \frac{\sqrt{2}}{(s+3)^2 + 2} \right\} = $$ $$ =e^{-3t} cos(\sqrt{2} t) – \frac{3}{\sqrt{2}} e^{-3t} sen(\sqrt{2} t) $$

b) \mathscr{L} ^{-1} \left\{ \dfrac{1}{(s-1)^3} + \dfrac{1}{s^2 + 2s -8}\right\}

SOLUÇÃO: 

Completando o quadrado no segundo denominador e usando a linearidade, temos $$ \frac{1}{(s-1)^3} + \frac{1}{s^2 + 2s -8} = \frac{1}{(s-1)^3} + \frac{1}{(s+1)^2 -9} = $$ $$= \frac{1}{2!} \frac{2!}{(s-1)^3} + \frac{1}{3} \frac{3}{(s+1)^2 -9} .$$

Portanto, $$ \mathscr{L} ^{-1} \left\{ \frac{1}{(s-1)^3} + \frac{1}{s^2 + 2s -8} \right\} = \frac{1}{2!} \mathscr{L} ^{-1} \left\{ \frac{2!}{(s-1)^3} \right\} + \frac{1}{3} \mathscr{L} ^{-1} \left\{ \frac{3}{(s+1)^2 -9} \right\} = $$ $$= \frac{1}{2}e^{t} t^2 + \frac{1}{3} e^{-t} senh(3t) .$$

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