Transformada de Fourier | Uma Introdução aos Conceitos Básicos

A Transformada de Fourier é uma poderosa técnica matemática para analisar funções não periódicas, representando-as em termos de funções senoidais. É essencial em comunicações e processamento de sinais, competindo com a Transformada de Laplace. Suas propriedades permitem lidar com equações diferenciais lineares e encontrar soluções em áreas como física e engenharia.

A Transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal. Existe diversas variações diretamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A transformada de Fourier permite analisar de forma adequada funções não periódicas.

A transformada de Fourier compete em algumas aplicações com a transformada de Laplace. Entretanto, a transformada de Fourier é mais útil que a transformada de Laplace em algumas aplicações relacionados com problemas de comunicações e processamento de sinais.

A transformada de Fourier permite analisar de forma adequada funções não periódicas. A transformada de Fourier compete em algumas aplicações com a Transformada de Laplace. Entretanto, a transformada de Fourier é mais útil que a transformada de Laplace em algumas aplicações relacionados com problemas de comunicações e processamento de sinais.

Enquanto as séries de Fourier eram definidas apenas para sinais periódicos, as Transformadas de Fourier são definidas para uma classe de sinais muito mais ampla.

Devido ao fato de que os sinais sinusoidais são diferenciáveis, a transformada de Fourier permite representar equações diferenciais lineares com coeficientes constantes na forma de equações algébricas ordinárias.

A Transformada de Fourier é uma Transformada Integral

As chamadas Transformadas Integrais são uma ferramenta valiosa no estudo das equações diferenciais e ocorrem em pares, into é, se $$F(s) = \int\limits_{a}^{b}f(x)K(s,x)dx$$ é uma integral que transforma f(x) em F(s), então a função f é recuperada por meio de outra transformada integral $$f(x) = \int\limits_{a}^{b}F(s)H(s,x)ds,$$ denominada integral de inversão ou transformada inversa e as funções K e H são denominados núcleos das transformadas.

Por exemplo, a Transformada de Laplace de uma função f(x) é dada por $$F(s) = \mathscr{L} (f) = \int_{0}^{\infty}{e^{-sx}f(x)dx} = $$ $$= \lim_{T \rightarrow \infty}{\int_{0}^{T}{e^{-sx}f(x)dx}}$$ e sua transformada inversa é $$f(x) = \mathscr{L}^{-1} (F(s))$$ que são transformadas integrais.

Nosso foco é estabelecer uma nova transforma integral denominada Transformada de Fourier que possui larga escala de aplicações em modelagens de problemas de engenharia.

A Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier de uma função f(x) é definida pela integral $$\mathscr{F}\{ f(x) \} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{f(x)e^{-i\alpha x}dx} = F(\alpha)$$ e sua Transformada Inversa de Fourier é dada por $$\mathscr{F}^{-1}\{ F(\alpha) \} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{F(\alpha)e^{i\alpha x}d\alpha} = f(x)$$ onde i = \sqrt{-1} e e^{i \theta} = \text{cos}( \theta ) + i \text{sen}( \theta ) .

OBSERVAÇÕES:

1. As constantes 1 e \dfrac{1}{2 \pi} que precedem as integrais da definição da Transformada de Fourier poderiam ser substituídas por quaisquer outras constantes cujo produto fosse \dfrac{1}{2 \pi} .
2. Pense na Transformada de Fourier como uma transformação que usa exponenciais complexas de várias frequências como suas bases.
3. Se f(x) for pensado como um sinal (ou seja, uma entrada de dados) então F ( \alpha ) é chamado de espectro do sinal.
4.  Se f(x) for pensado como uma resposta de um impulso (que opera em entrada de dados para produzir saída de dados) então F ( \alpha ) é chamado de filtro da frequência de resposta. Ou seja, a resposta do impulso é a Transformada Inversa de Fourier da frequência de resposta.
5. Por causa da presença do fator complexo $$e^{i \alpha x}$$ é evidente que F( \alpha ) é, em geral. uma função complexa. Assumindo que f(x) é real obtemos a propriedade do conjugado $$ F( – \alpha ) = \overline{ F (\alpha )}, $$ isto é, a transformada de Fourier do conjugado de um sinal é o simétrico do conjugado da a transformada de Fourier deste sinal.
6. Se f(x) é par, então F (\alpha ) é real. Por outro lado, se  f(x) é ímpar, então F (\alpha ) é imaginário puro.

Condições de Existência da Transformada de Fourier

Assim como acontece com a Transformada de Laplace, no caso da Transformada de Fourier também são necessárias algumas condições de existência.

Para as Transformadas de Fourier as condições são mais restritivas.

As condições suficientes para a existências da Transformada de Fourier de uma função f(x) é que esta função seja absolutamente integrável, ou seja, que exista a integral $$\int\limits_{-a}^{a}{|f(x)|dx}$$ em um intervalo [-a,a] e que f e f' sejam parcialmente contínuas em qualquer intervalo finito.

EXEMPLO

Vamos calcular a Transformada de Fourier da função exponencial multiplicada pela função degrau unitário $$f(x) = e^{-x}u(x) = \left\{ \begin{array}{rl} e^{-x}; & x \geq 0\\ 0; & x<0 \end{array} \right.$$

Por definição, $$\mathscr{F}\{ f(x) \} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{f(x)e^{-i\alpha x}dx} = $$ $$=\int\limits^{\infty}_{0}{e^{-x}e^{-i\alpha x}dx} = \lim\limits_{M \rightarrow 0}{\frac{e^{-x(1+i\alpha)}}{-(1+i\alpha)}} \left|^{M}_{0} \right.= $$ $$=\frac{1-\alpha i}{1+\alpha^2}$$

Tabela de Transformadas de Fourier

É possível tabelar as transformadas de Fourier das principais funções que aparecem em modelagens matemáticas, assim como fazemos com a Transformada de Fourier.

Porém, as tabelas de Transformadas de Fourier podem ser gigantescas e complexas de se usar.

Como esse artigo tem um caráter introdutório, deixaremos para outro momento suas aplicação, mas não nos furtaremos de apresentar um rápido exemplo de algumas Transformadas de Fourier tabeladas.

Abaixo temos algumas funções propriedades específicas das Transformadas de Fourier.

Propriedades da Transformada de Fourier

Sejam f e g duas funções que satisfaçam as condições de existências da Transformada de Fourier. Sendo assim,

1. Translação no tempo. Se \mathscr{F}\{f(x)\} = F(\alpha) então \mathscr{F}\{f(x-c)\} = e^{i\alpha c}F(\alpha), sendo c um número real qualquer.
2. Propriedade da Atenução. Se \mathscr{F}\{f(x)\} = F(\alpha) então F \left( e^{i\alpha_0 x}f(x) \right) = F(\alpha - \alpha_0).
3. A transformada de Fourier é um operador linear, ou seja, dados dois números complexos \alpha e \beta quaisquer, $$\mathscr{F}\{\alpha f + \beta g\} = \alpha \mathscr{F}\{f\} + \beta \mathscr{F}\{g\}.$$
4. Teoremas de Parseval. O primeiro teorema de Parseval na teoria da Transformada de Fourier é dado por $$ \int\limits_{- \infty}^{+ \infty}{ | F( \alpha) |^2 d \alpha}  = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty}{ | f(x) |^2 d x}.$$ Além disso, pode-se propor uma fórmula mais geral: $$ \int\limits_{- \infty}^{+ \infty}{ F( \alpha) G( – \alpha ) d \alpha}  = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty}{ f(x)g(x) d x},$$ conhecida como o segundo teorema de Parseval na teoria da transformada de Fourier.
5. Se f' satisfaz as condições de existência da transformada de Fourier e ainda, f(x) \rightarrow 0 quando x \rightarrow \pm \infty, então $$\mathscr{F}\{f'(x)\} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{f'(x)e^{-i\alpha x}dx} $$ $$ =  \left[ f(x)e^{i\alpha x} \left|^{\infty}_{-\infty} \right.- i\alpha\int\limits^{\infty}_{-\infty}{f(x)e^{-i\alpha x}dx}\right] $$ $$ =  0 \;\; – i\alpha \int\limits^{\infty}_{-\infty}{f(x)e^{-i\alpha x}dx}$$ $$  = -i\alpha F(\alpha) $$

Analogamente, sob as condições adicionais de f'' satisfazer as condições de existência da transformada de Fourier e ainda, f'(x) \rightarrow 0 quando x \rightarrow \pm \infty, então $$\mathscr{F}\{f”(x)\} = -i\alpha \mathscr{F}\{f'(x)\} = -\alpha^2F(\alpha)$$

EXEMPLO

Considere $$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
1-\frac{|x|}{a}; & |x|\leq a\\
0;&|x|>
a
\end{array} \right.$$

Essa função em gráfico dado por

Temos que
$$
\mathscr{F}\{ f(x) \} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{f(x)e^{-i\alpha x}dx}= $$
$$ = \int\limits^{a}_{-a}{f(x)e^{-i\alpha x}dx}=$$
$$ = \left[\int\limits^{0}_{-a}{f(x)e^{-i\alpha x}dx} + \int\limits^{a}_{0}{f(x)e^{-i\alpha x}dx}\right]=$$
$$ = \left[\int\limits^{0}_{-a}{\left( 1+\frac{x}{a} \right) e^{-i\alpha x}dx} + \int\limits^{a}_{0}{\left(1-\frac{x}{a} \right)e^{-i\alpha x}dx}\right]= $$
$$ = \left[ \left( \frac{1}{i\alpha} +\frac{1}{\alpha} -\frac{e^{-i\alpha a}}{\alpha}\right) + \left( – \frac{1}{i\alpha} +\frac{1}{\alpha} -\frac{e^{i\alpha a}}{\alpha} \right)\right]= $$
$$ = \left[\frac{2}{\alpha} – \frac{2}{\alpha}\cos{(\alpha a)}\right]= $$
$$ = \frac{2}{\alpha\sqrt{2 \pi}}\left[1 – \cos{(\alpha a)}\right] $$

A Equação do Calor Numa Haste Infinita

Uma aplicação da Transformada de Fourier se dá na solucionar equações diferenciais parciais.

Nestes nestes casos assumimos que tanto u como \dfrac{\partial u}{\partial x} (ou \partial u / \partial y) tendem a zero quando x\rightarrow \pm \infty.

Estas restrições se verificam na grande maioria das aplicações como a Equação do Calor numa haste infinita.

Vamos resolver a equação $$k\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial u}{\partial t},\;\;\;\;\; -\infty < c < \infty, \;\;\;\;\;t>0,$$ sujeita a $$u(x,0) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & |x|\leq 1\\ 0,&|x|>1 \end{array} \right.$$

Este PVIC modela a temperatura em uma haste infinita. Aplicando a Transformada de Fourier na função u(x,t) obtemos $$\mathscr{F}\left\{ u(x,t) \right\} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{u(x,t)e^{-i\alpha x}dx} = U(\alpha,t).$$ Por propriedades enunciadas, temos que $$\mathscr{F}\left\{ \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) \right\} = -i\alpha U(\alpha,t)\;\;\;e\;\;\; \mathscr{F}\left\{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) \right\} = -\alpha^2 U(\alpha,t).$$

Agora, observe que
$$\mathscr{F}\left\{ \frac{\partial u}{\partial t}(x,t) \right\} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)e^{-i\alpha x}dx} = \frac{\partial u}{\partial t} \int\limits^{\infty}_{-\infty}{u(x,t)e^{-i\alpha x}dx}= \frac{\partial }{\partial t}U(\alpha,t).$$

Agora, substituímos na equação do calor e obtemos a seguinte equação $$-k\alpha^2 U(\alpha,t) = \frac{\partial }{\partial t}U(\alpha,t) \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}U(\alpha,t)+ k\alpha^2 U(\alpha,t)=0.$$

Obtemos uma EDO de primeira ordem cuja solução é dada por $$U(\alpha,t) = ce^{-k\alpha^2 t}.$$

A Transformada de Fourier para a condição inicial, pela tabela de Transformadas é dada por $$\mathscr{F}\left\{ u(x,0) \right\} = \frac{2\sin{\alpha}}{\alpha} = U(\alpha,0). $$

Portanto, $$c=\frac{2\sin{\alpha}}{\alpha}$$ e assim, $$U(\alpha,t) = \frac{2\sin{\alpha}}{\alpha}e^{-k\alpha^2 t}.$$

Pela integral de inversão
$$u(x,t) = \mathscr{F}^{-1}\{ U(\alpha,t) \} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{U(\alpha,t)e^{i\alpha x}d\alpha} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{\frac{2\sin{\alpha}}{\alpha}e^{-k\alpha^2 t}e^{i\alpha x}d\alpha}$$

Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita

Vamos encontrar a solução da equação da onda $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$$ sujeita às condições iniciais: $$- \infty < x < \infty ,$$ $$u(x,0) = f(x)= \left\{ \begin{array}{rll}
2 & ; & |x| < 1 \\
0 & ; & |x| > 1
\end{array} \right. $$ e $$ \frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = 0 .$$

Aplicando a Transformada de Fourier na função u(x,t) obtemos $$\mathscr{F}\left\{ u(x,t) \right\} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{u(x,t)e^{-i\alpha x}dx} = U(\alpha,t).$$ Por propriedades enunciadas, temos que $$\mathscr{F}\left\{ \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) \right\} = -i\alpha U(\alpha,t)\;\;\;e\;\;\; \mathscr{F}\left\{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) \right\} = -\alpha^2 U(\alpha,t).$$

Agora, observe que
$$\mathscr{F}\left\{ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}(x,t) \right\} = \int\limits^{\infty}_{-\infty}{\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}(x,t)e^{-i\alpha x}dx} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \int\limits^{\infty}_{-\infty}{u(x,t)e^{-i\alpha x}dx}= \frac{\partial^2 }{\partial t^2}U(\alpha,t).$$

Agora, substituímos na equação do calor e obtemos a seguinte equação $$-a^2 \alpha^2 U(\alpha,t) = \frac{\partial ^2}{\partial t^2}U(\alpha,t) \Rightarrow \frac{\partial ^2}{\partial t^2}U(\alpha,t) + a^2 \alpha^2 U(\alpha,t)=0.$$

Obtemos uma EDO de primeira ordem cuja solução é dada por $$U(\alpha,t) = c_1 cos (a \alpha t) + c_2 sen(a \alpha t).$$

Pelas condições iniciais e usando a tabela de Transformada de Fourier $$U(\alpha,0) = c_1 = \mathscr{F}\left\{ u(x,0) \right\} = \frac{4\sin{\alpha}}{\alpha}$$

Portanto, $$U(\alpha,t) = \frac{4\sin{\alpha}}{\alpha} cos (a \alpha t) + c_2 sen(a \alpha t).$$

Daí, como $$\frac{\partial U}{\partial t} ( \alpha ,t) = -4 a sen(a \alpha t) + a \alpha c_2 cos(a \alpha t), $$ então $$ \frac{\partial U}{\partial t} ( \alpha ,0) = a \alpha c_2, $$ Logo, c_2 =0 .

Ou seja, $$U(\alpha,t) = \frac{4\sin{\alpha}}{\alpha} cos (a \alpha t).$$

Pela integral de inversão
$$u(x,t) = \mathscr{F}^{-1}\{ U(\alpha,t) \} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{U(\alpha,t)e^{i\alpha x}d\alpha} = \frac{1}{2\pi}\int\limits^{\infty}_{-\infty}{\frac{4\sin{\alpha}}{\alpha} cos (a \alpha t) e^{i\alpha x}d\alpha}$$

Sinais e Ondas

1. Distribuição de elétrons em um átomo pode ser obtida de uma transformada de Fourier da amplitude de raios X espalhados.
2. Na Mecânica Quântica, a origem Física das relações de Fourier é a natureza ondulatória da matéria e a descrição que fazemos em termos de ondas (k).

Referências Bibliográficas:

Basta clicar no link do livro para ter mais detalhes sobre eles.

1. SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier, McGraw-Hill, São Paulo, 1976.
2. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
3. Butkov, E. – “Física Matemática”, LTC; 1ª edição, 1978.

Listas de Exercícios sobre a Transformada de Fourier:

• Transformada de Fourier | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• Corda Vibrante | A Equação da Onda Unidimensional
• Séries de Fourier | História, Definição e Condições de Existência.
• Solucionando EDO’s por Transformada de Laplace | Exercícios Resolvidos
• A Integral de Fourier

Assista Nossa Vídeo-Aula Sobre Transformadas de Fourier:

https://www.youtube.com/watch?v=q11XX_7jaxw