E.D.O.’s e as Séries de Potências | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo, quero apresentar uma segunda lista de exercícios resolvidos sobre a técnica de solução das Equações diferenciais ordinárias (E.D.O.) de 1ª e 2ª ordens, lineares, através de séries de potências em torno de um ponto ordinário.

As Séries de Potências são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas. Uma destas aplicações é a solução de equações diferenciais como as E.D.O.’s de 2ª ordem homogêneas através de séries de potências em torno de um ponto ordinário.

A ideia é considerar que a solução geral da E.D.O. $$y”+p(x)y’+r(x)y=0,$$ tais que p,q e r são analíticas no ponto x_0, é $$y=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n (x-x_0)^n} = a_0 y_1(x)+a_1 y_2(x)$$ onde a_0 e a_1 são arbitrários e y_1 e y_2 são soluções analíticas em x_0 que formam um conjunto fundamental de soluções cujo raio de convergência é ao menos o raio de convergência das séries de p e q.

Solução de E.D.O.’s por Séries de Potências em Torno de Pontos Ordinários | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Solucione as EDO’s abaixo utilizando séries de potências em torno de x_0 = 0.

1)  y'' -y = 0

SOLUÇÃO: Observe que se y'' -y = 0, então y''= y

Considere uma solução $$y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}.$$

Daí, $$y’ = \sum_{n=1}^{\infty}{n a_n x^{n-1}}$$ e $$y” = \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}}.$$ Substituindo estas derivadas na EDO obtemos $$\sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}} = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} .$$

O que nos leva à fórmula de recorrência  $$a_{s+2} = \frac{a_s}{(s+2)(s+1)}$$ e gera a solução

$$y = a_0 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!} } + a_1 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }$$

Considere, agora a_0 = c_1+c_2 e a_1 = c_2-c_1. Daí, obtemos

$$y = (c_1+c_2) \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!} } + (c_2-c_1) \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} } = $$

$$ =(c_1+c_2) \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!} } + (c_1-c_2) \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{-x^{2n+1}}{(2n+1)!} } = $$

$$ = c_1 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!} } +c_2 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!} } + c_1 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{-x^{2n+1}}{(2n+1)!} } – c_2 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{-x^{2n+1}}{(2n+1)!} } = $$

$$ = c_1 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!} } +c_2 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!} } + c_1 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{-x^{2n+1}}{(2n+1)!} } + c_2 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} } = $$

$$ = c_1 \left( \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!} } + \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{-x^{2n+1}}{(2n+1)!} } \right) +c_2 \left( \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n}}{(2n)!} } + \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} } \right)$$

Observe que na primeira soma de séries temos os termos pares subtraídos dos termos ímpares, o que caracteriza uma série alternada.

Assim, obtemos a solução $$y(t) = c_1 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{ (-1)^n x^{n}}{(n)!} } +c_2 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{(n)!} }= c_1 e^{-x} + c_2 e^x$$

2) (1-x)y'' - y=0

SOLUÇÃO: Observe que se (1-x)y'' - y=0, então (1-x)y''=y.

Considere uma solução $$y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}.$$

Daí, $$y’ = \sum_{n=1}^{\infty}{n a_n x^{n-1}}\;\;\; e \;\;\; y” = \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}}.$$ Substituindo estas derivadas na EDO obtemos $$\sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}} – x \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}} = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^{n+1}} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}} – \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-1}} = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^{n+1}}.$$

Acertando as potências das séries, fazendo s=n+2 e s=n+1, respectivamente nas duas séries do lado esquerdo e mantendo s=n na série do ado direito, encontramos:

$$\sum_{s=0}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} –  \sum_{s=1}^{\infty}{(s)(s+1) a_{s+1} x^{s}} = \sum_{s=0}^{\infty}{a_{s} x^{s}}.$$

Agora para acertarmos o passo das séries devemos desenvolver o primeiro termo da primeira série do lado esquerdo e do lado direito:

$$2a_2 + \sum_{s=1}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} –  \sum_{s=1}^{\infty}{(s)(s+1) a_{s+1} x^{s}} = a_0 + \sum_{s=1}^{\infty}{a_{s} x^{s}}.$$

Agora, para que a igualdade seja satisfeita, devemos ter 2 a_2 = a_0 . Desta forma, $$\sum_{s=1}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} –  \sum_{s=1}^{\infty}{(s)(s+1) a_{s+1} x^{s}} = \sum_{s=1}^{\infty}{a_{s} x^{s}},$$ nos dando a fórmula de recorrência $$(s+2)(s+1)a_{s+2}-(s)(s+1) a_{s+1}= a_s.$$

Com essa fórmula podemos encontrar todos os termos à partir de a_3 dependentes simultaneamente de a_0 e a_1 , nos dando a solução:

$$y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} = a_0 \left( 1+ \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{16} + \frac{7x^5}{160} +… \right) + $$ $$ + a_1 \left( x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}+ \frac{x^5}{30}+…\right).$$

3) y' - y = 0

SOLUÇÃO: Observe que se y' - y = 0, então y' = y.

Considere uma solução $$y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}.$$

Daí, $$y’ = \sum_{n=1}^{\infty}{n a_n x^{n-1}}.$$ Substituindo estas derivadas na EDO obtemos $$\sum_{n=1}^{\infty}{n a_n x^{n-1}} = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^{n}}. $$

Que nos leva a $$\sum_{s=0}^{\infty}{(s+1) a_{s+1} x^{s}} = \sum_{s=0}^{\infty}{a_s x^{s}}. $$

Chegando assim na fórmula de recorrência $$a_{s+1} = \frac{a_s}{s+1}$$ que permite desenvolver todos os termos em função de a_0 , da seguinte forma $$ a_n = \frac{a_0}{n!}.$$

Portanto, $$y = a_0 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} = a_0 e^x$$

4) 4y'' + y = 0

SOLUÇÃO: Utilizando a mesma técnica do exercício anterior, e lembrando que $$y” = \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}},$$ obtemos \begin{eqnarray} 4y” + y & = & 0 \\ \\ 4 \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}} + \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} & = & 0 \end{eqnarray} e fazendo k = n-2 na primeira série e k = n na segunda série, temos (após trocarmos, por sua vez, n = k +2 e n = k ) \begin{eqnarray} 4y” + y & = & \sum_{k=0}^{\infty}{4 (k+2)(k+1) a_{k+2}x^{k}} + \sum_{n=0}^{\infty}{a_k x^k} \\ & = & \sum_{k=0}^{\infty}{ \left[ 4 (k+2)(k+1) a_{k+2} +a_k \right] x^{k}} = 0 \end{eqnarray}

Desta última identidade, concluímos que $$ 4 (k+2)(k+1) a_{k+2} +a_k = 0 $$ ou $$ a_{k+2} = \frac{-a_k}{4 (k+2)(k+1) }, \qquad k = 0,1,2,3,… \; .$$ Da iteração dessa relação de recorrência, segue-se que $$a_2 = – \frac{a_0}{2^2 \times 2!}$$ $$a_3 = – \frac{a_1}{2^2 \times 3!}$$ $$a_4 = – \frac{a_0}{2^4 \times 4!}$$ $$a_5 = – \frac{a_1}{2^4 \times 5!}$$ $$a_6 = – \frac{a_0}{2^6 \times 6!}$$ $$a_7 = – \frac{a_1}{2^6 \times 7!}$$ e assim por adiante, sendo a_0 e a_1 constantes arbitrárias. Assim, poderemos escrever \begin{eqnarray} y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} & = &  a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 +a_5 x^5 + a_6 x^6 + …. \\ \\ & = & a_0 \left[ 1- \frac{1}{2^2 \times 2!} x^2+ \frac{1}{2^4 \times 4!} x^4 – \frac{1}{2^6 \times 6!} x^6 + …. \right] + \\ & & + a_1 \left[ x- \frac{1}{2^2 \times 3!} x^3+ \frac{1}{2^4 \times 5!} x^5 – \frac{1}{2^6 \times 7!} x^7 + …. \right] \\ \\ & = & a_0 \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k }{(2k)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k} } + 2 a_1 \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k }{(2k+1)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k+1} } \\ \\ & = & a_0 cos \left( \frac{x}{2} \right) + 2 a_1 sen\left( \frac{x}{2} \right) \end{eqnarray}

Listas de Exercícios Resolvidos Sobre E.D.O.’s e as Séries de Potências:

• E.D.O.’s e as Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
  

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