Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 4ª Lista de Exercícios

Resolva as equações diferenciais abaixo usando a Transformada de Laplace:

1) y'' + 9 y = 3 \delta (t - \pi); \;\;\; y(0) = 1 \;\;\; y'(0) = 0 ;

SOLUÇÃO: OBS: 

2) y'' - y = e^{2t}; \;\;\; y(0) = 1 \;\;\; y'(0) = 1 ;

SOLUÇÃO: 

3) y'' + 4 y = g(t) ; \;\;\; y(0) = 0 \;\;\; y'(0) = 0 onde $$ g(t) = \left\{\begin{array}{rl}
1; & 0 \leq t < 1 \\
\\ -1; & 1 \leq t < 2 \\
\\ 0; & t \geq 2 \end{array}\right. $$

SOLUÇÃO: propriedade da Translação para Transformada de Laplace

4) y'' + 4y' - 5y = te^{t}; \;\;\; y(0) = 1 \;\;\; y'(0) = 1 ; 

SOLUÇÃO: Tabela de Transformadas de Laplace

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