Resolvendo EDO’s por Laplace | 4ª Lista de Exercícios Resolvidos

Para resolver Equações Diferenciais Ordinárias usando a Transformada de Laplace basta seguir os passos: 1) Aplique a transformada em toda a equação; 2) Isole a transformada da variável dependente; e 3) Aplique a transformada inversa e encontre solução da sua transformada.

Na prática, considere o problema de valor inicial $$y” + ay’ + by = r(t),\;\;\;y(0) = K_1\;\;\;\;y'(0) = K_2$$ sendo a e b constantes. Neste caso, aplicando a Transformada de Laplace na equação, e lembrando que \mathscr{L}(f')  =  s \mathscr{L} (f)-f(0) e \mathscr{L} (f'')  =  s^2 \mathscr{L} (f) - sf(0) - f'(0) , obtemos $$ \mathscr{L}\{ y” + ay’ + by \} = \mathscr{L}\{ r(t) \}$$ $$ \mathscr{L}\{ y”\} + a \mathscr{L}\{y’\} + b \mathscr{L}\{y \} = \mathscr{L}\{ r(t) \} $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sy(0) – y'(0) \right] + a \left[ s Y(s) – y(0) \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ \left[ s^2 Y(s) – sK_1 – K_2 \right] + a \left[ s Y(s) – K_1 \right] + b Y(s) = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] – \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] = R(s) $$ $$ Y(s) \left[ s^2 + as +b \right] = R(s) + \left[ s K_1 + a K_1 + K_2 \right] $$ $$ Y(s) = \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} .$$ Agora, bastaria encontrar $$ y(t) = \mathscr{L}^{-1}\{ Y(s) \} = \mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{R(s) +  s K_1 + a K_1 + K_2}{s^2 + as +b} \right\}$$ que teremos a solução do problema de valor inicial.

Resolvendo E.D.O.’s Via Transformada de Laplace – 4ª Lista de Exercícios

Resolva as equações diferenciais abaixo usando a Transformada de Laplace:

1) y'' + 9 y = 3 \delta (t - \pi); \;\;\; y(0) = 1 \;\;\; y'(0) = 0 ;

SOLUÇÃO: 

Considere Y(s) = \mathscr{L} \left\{ y(t) \right\} . Como \mathscr{L} \left\{ y''(t) \right\} = s^2 Y(s) - s e \mathscr{L} \left\{ 3 \delta (t - \pi)\right\} = 3e^{-\pi s} , podemos tomar a Transformada de Laplace dos dois lados da equação e resolver para Y(s) resultando em $$s^2 Y – s + 9 Y = 3e^{-\pi s}$$ e o que nos leva a $$Y(s) = \frac{s}{s^2 +9} + e^{-\pi s} \frac{3}{s^2 +9} = \mathscr{L} \left\{ cos(3t) \right\} + e^{-\pi s} \mathscr{L} \left\{ sen(3t) \right\} $$

Usando a propriedade de translação para determinar a transformação de Laplace Inversa de Y(s) , achamos $$y(t) = cos(3t) + \left[ sen(3[t – \pi])\right] u(t- \pi).$$

OBS: Este P.V.I. está ligada ao problema de uma mola presa, liberada do repouso 1 m abaixo da posição de equilíbrio para o sistema massa-mola e começa a vibrar. Depois de \pi segundos, a massa é atingida por um martelo exercendo sobre ela um impulso.

2) y'' - y = e^{2t}; \;\;\; y(0) = 1 \;\;\; y'(0) = 1 ;

SOLUÇÃO: 

Observe que aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados, e considerando Y(s) = \mathscr{L} \left\{ y(t) \right\} , obtemos $$s^2 Y – s-1-Y = \frac{1}{s-2} \Leftrightarrow Y(s) = \frac{1}{s-1}+ \frac{1}{(s-1)(s+1)(s-2)} .$$

Logo, usando Frações Parciais, encontramos $$ Y(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{6\,\left( s+1\right) }-\frac{1}{2\,\left( s-1\right) }+\frac{1}{3\,\left( s-2\right) } = \frac{1}{6\,\left( s+1\right) }+\frac{1}{2\,\left( s-1\right) }+\frac{1}{3\,\left( s-2\right) }$$

Portanto, $$ y(t) = \frac{{e}^{2\,t}}{3}+\frac{{e}^{t}}{2}+\frac{{e}^{-t}}{6} .$$

3) y'' + 4 y = g(t) ; \;\;\; y(0) = 0 \;\;\; y'(0) = 0 onde $$ g(t) = \left\{\begin{array}{rl}
1; & 0 \leq t < 1 \\
\\ -1; & 1 \leq t < 2 \\
\\ 0; & t \geq 2 \end{array}\right. $$

SOLUÇÃO: 

Reescrevendo a função g(t) em termos da função degrau como $$g(t) = 1 – 2 u(t-1) + u(t-2)$$ obtemos um P.V.I. $$ y” + 4 y = 1 – 2 u(t-1) + u(t-2 ; \;\;\; y(0) = 0 \;\;\; y'(0) = 0 .$$

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação obtemos $$s^2 Y+4Y = \frac{1}{s} – \frac{2 e^{-s}}{s} + \frac{e^{-2s}}{s}$$ donde encontramos $$Y(s) = \frac{1}{s(s^2+4)} – \frac{2 e^{-s}}{s(s^2+4)} + \frac{e^{-2s}}{s(s^2+4)}.$$

Observando que \mathscr{L} \left\{ \dfrac{1}{s(s^2+4)} \right\}  = \mathscr{L} \left\{ \dfrac{1}{4s} - \dfrac{1}{4 (s^2+4)} \right\} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} cos(2t), e usando a propriedade da Translação para Transformada de Laplace, encontramos $$y(t) = \frac{1}{4} – \frac{1}{4} cos(2t) – \left[ \frac{1}{4} – \frac{1}{4} cos(2[t-1]) \right]u(t-1)+ \left[ \frac{1}{4} – \frac{1}{4} cos(2[t-2]) \right]u(t-2)$$

4) y'' + 4y' - 5y = te^{t}; \;\;\; y(0) = 1 \;\;\; y'(0) = 1 ; 

SOLUÇÃO: 

Considere Y(s) = \mathscr{L} \left\{ y(t) \right\} . Tomando a transformada de Laplace dos dois lados da equação diferencial na equação, obtemos $$\left[ s^2Y – s \right] + 4 \left[ sY – \right] – 5 Y = \frac{1}{(s-1)^2} $$ o que nos leva a $$Y(s) = \frac{s^3+2s^2-7s+5}{(s+5)(s-1)^3}.$$

A expansão em frações parciais para Y(s) tem a forma $$ \frac{s^3+2s^2-7s+5}{(s+5)(s-1)^3} = \frac{35}{216} \left( \frac{1}{s+5} \right) + \frac{181}{2016} \left( \frac{1}{s-1} \right) – \frac{1}{36} \left( \frac{1}{(s-1)^2} \right)+ \frac{1}{12} \left( \frac{1}{(s-1)^3} \right).$$ Usando a Tabela de Transformadas de Laplace, obtemos $$y(t) = \frac{35}{216} e^{-5t} + \frac{181}{2016}e^{t} – \frac{1}{36} te^{t} + \frac{1}{12} t^2e^{t}.$$

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