Matrizes – Definições Básicas e Primeiros Exemplos

As matrizes são usadas sempre que é preciso representar de forma resumida uma coleção infinita ou finita de elementos dispostas em linhas e colunas.

Em nosso cotidiano, com frequência lidamos com elementos dispostos em linhas (filas horizontais) e em colunas (filas verticais), formando uma tabela retangular. Em geral, este formato está disposto como uma tabela, por exemplo, de carros vendidos por uma loja durante uma semana, a quantidade de livros que um aluno deve ler num certo ano letivo, e até mesmo em conhecidos softwares que usam trabalham com planilhas.

Em linguagem matemática, uma tabela retangular de números é denominada matriz, ou seja, em suma, matematicamente, uma matriz é um arranjo de números em linhas e colunas.

A Definição de Matriz

Uma matriz A, m \times n (lê-se: m por n), é uma tabela de m \cdot n números dispostos em m linhas e n colunas. Desta forma, representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes, ou ladeado a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais.

Definição de Matriz: Sejam m \geq 1 e n \geq 1 dois números inteiros. Uma matriz m \times n real é uma dupla sequência de números reais, distribuídos em m  linhas e n colunas, formando uma tabela do seguinte modo: $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$

Em notação abreviada, uma matriz A, m \times n pode ser escrita do seguinte modo: $$ A = \left( a_{ij} \right)_{m \times n} \qquad \text{ou} \qquad A = \left( a_{ij} \right), \; \; 1 \leq i \leq m, \;\;\; 1 \leq j \leq n.$$ O exemplo abaixo mostra as três formas possíveis de representação de uma uma matriz: parênteses, colchetes e e dois pares de barras verticais.

EXEMPLO 1: Vejamos alguns exemplos de matrizes:

1) A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \end{array} \right) é uma matriz 2 \times 3 ;

2) B = \left[ \begin{array}{cccc} 4 & 0\\ -1 & 1 \end{array} \right] é uma matriz 2 \times 2 ;

3) C = \left\| \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & \sqrt{3} \\ \dfrac{1}{2} & -1 & -6 \end{array} \right\| é uma matriz 4 \times 3 ;

As linhas e as colunas de uma Matriz

Dada uma matriz $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right],$$ as m sequências horizontais $$ A^{(1)} = \left( a_{11}, a_{12}, …, a_{1n} \right)$$ $$ A^{(2)} = \left( a_{21}, a_{22}, …, a_{2n} \right)$$ $$ \vdots$$  $$ A^{(m)} = \left( a_{m1}, a_{m2}, …, a_{mn} \right)$$  são chamadas de linhas da matriz A, enquanto que as n sequências verticais $$ A_{(1)} = \left( a_{11}, a_{21}, …, a_{m1} \right)$$ $$ A_{(2)} = \left( a_{12}, a_{22}, …, a_{m2} \right)$$ $$ \vdots$$  $$ A_{(m)} = \left( a_{1n}, a_{2n}, …, a_{mn} \right)$$ são as colunas de A.

Neste sentido, podemos estabelecer que a i- ésima linha de A é dada por $$\left[ \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \end{array} \right]$$para j = 1, . . . ,n e a j- ésima coluna de A é $$\left[ \begin{array}{cccc} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}\\ \end{array} \right] .$$

EXEMPLO 2: Na matriz $$ A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \end{array} \right) $$ as linhas são (1, \; -2, 3) e (0,4, \; 2) , ao passo que as colunas são $$\left[ \begin{array}{cc} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right], \qquad \left[ \begin{array}{cc} -2 \\ 4 \\ \end{array} \right], \qquad \text{e} \qquad \left[ \begin{array}{cc} 3 \\ 2\\ \end{array} \right].$$

EXEMPLO 3: Vamos escrever a matriz A = \left( a_{ij} \right)_{2 \times 2} , onde a_{ij} = 2i + j .

Uma matriz do tipo 2 \times 2 pode ser genericamente representada por $$A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right].$$ Utilizando a lei de formação dos elementos desta matriz, temos: $$ a_{11} = 2 \times 1 +1 = 3 ;$$ $$ a_{12} = 2 \times 1 +2= 4 ;$$ $$ a_{21} = 2 \times 2 +1 = 5 ;$$ $$ a_{22} = 2 \times 2 +2 = 6 .$$ Portanto, $$A = \left[ \begin{array}{cccc} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array} \right].$$

O Elemento ou Entrada de Uma Matriz

Dizemos que a_{ij} é o elemento ou a entrada de posição i,j da matriz A. Nesse sentido, podemos fixar a notação de uma matriz por letra maiúscula e um elemento qualquer da matriz por uma letra minúscula munida de dois índices: o primeiro denota a linha em que está o elemento, e o segundo, a coluna à qual o elemento pertence.

EXEMPLO 4: Considere as seguintes matrizes: $$ A= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & -3 \\
3 & 4 & 0 \end{array} \right]; \qquad B= \left[ \begin{array}{cccc} -2 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & -4 \end{array} \right]; \qquad C= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & -2 \end{array} \right]. $$ De acordo com a notação que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima são $$a_{12} = 2, c_{23} = -2, e_{21} = 4, [A]_{22} = 4, [D]_{12} = 3.$$

O Conjunto das Matrizes

Indicaremos por \mathbb{M}_{m \times n} \left( \mathbb{R} \right) como o conjunto das matrizes reais de ordem m \times n. Se m = n, ao invés de \mathbb{M}_{n \times n} \left( \mathbb{R} \right) usa-se a notação \mathbb{M}_{n} \left( \mathbb{R} \right) .

Cada matriz do conjunto \mathbb{M}_{n} \left( \mathbb{R} \right) é denominada matriz quadrada. Em contraposição, quando m \neq n , uma matriz m \times n se diz uma matriz retangular. Uma matriz 1 \times 1 dada por A = \left( a_{11} \right) se identifica com o número real a_{11} .

EXEMPLO 5: Voltando às matrizes do primeiro exemplo, podemos dizer que:

1) A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \end{array} \right) é uma matriz que pertence ao conjunto \mathbb{M}_{2 \times 3} \left( \mathbb{R} \right) ;

2) B = \left[ \begin{array}{cccc} 4 & 0\\ -1 & 1 \end{array} \right] é uma matriz que pertence ao conjunto \mathbb{M}_{2} \left( \mathbb{R} \right) ;

3) C = \left\| \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & \sqrt{3} \\ \dfrac{1}{2} & -1 & -6 \end{array} \right\| é uma matriz que pertence ao conjunto \mathbb{M}_{4 \times 3} \left( \mathbb{R} \right) ;

Igualdade de Matrizes

Dizemos que duas matrizes são iguais se elas têm o mesmo tamanho e os elementos correspondentes são iguais, ou seja, A = \left[ a_{ij} \right]_{m×n} e B = \left[ b_{ij} \right] _{p×q} são iguais se m = p, n = q e a_{ij} = b_{ij} para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.

Desta forma, duas matrizes para serem iguais precisam tero mesmo números de linhas e de colunas e cada respectiva entrada deve conter os mesmos valores.

EXEMPLO 6: 

1) As matrizes A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \end{array} \right) , B = \left[ \begin{array}{cccc} 4 & 0\\ -1 & 1 \end{array} \right] e C = \left\| \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & \sqrt{3} \\ \dfrac{1}{2} & -1 & -6 \end{array} \right\| não poder ser iguais, pois possuem tamanhos diferentes.

2) Já as matrizes  A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & x & 0 \end{array} \right) e B = \left( \begin{array}{cccc} y & 2 & z \\ t & -1 & 0 \end{array} \right) serão iguais, se, e somente se, $$ x=\; -1, \qquad y = 1 \qquad t = 0, \qquad \text{e} \qquad z=1.$$

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