O que é o Jacobiano? E como calcular a Matriz Jacobiana?

A Matriz Jacobiana é usada para realizar mudanças de variáveis, em especial para transformar os vetores infinitesimais de um sistema de coordenadas para outro. Neste artigo queremos estudar um pouco mais este objeto matemático.

A Matriz Jacobiana (denominada por causa do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial.

Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela matriz Jacobiana, mas uma função não precisa de ser diferenciável para a existência desta matriz, basta que as derivadas parciais existam.

Como Calcular a Matriz Jacobiana em duas e três dimensões?

Por exemplo, no caso de uma função f(u,v) = \left( x(u,v) , y(u,v) \right) a matriz jacobiana de x e y em relação a u e v é dada por $$ \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \left[  \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right]. $$

De modo análogo, a matriz jacobiana de x,y e z em relação a u, v e w é dada por $$ \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} = \left[  \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w}\\\end{array} \right].$$

A Matriz Jacobiana e as Coordenadas Polares

As equações $$x=r\text{cos} ( \theta )\;\;\;\;y=r\text{sen} ( \theta )$$ que nos dão as coordenadas cartesianas de um dado ponto em termos de suas coordenadas polares.

A matriz jacobiana, nesse caso, é dada por $$ \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \left[ \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right]  = \left[ \begin{array}{ll} \text{cos} ( \theta ) & -r\text{sen} ( \theta )\\ \\ \text{sen} ( \theta ) & r\cos{ \theta} \end{array} \right] .$$

A Matriz Jacobiana e as Coordenadas Cilíndricas

As coordenadas cilíndricas de um ponto P, cujas coordenadas cartesianas são (x,y,z), no espaço são dadas por $$r, \theta, z$$ onde r e \theta são as coordenadas polares da projeção de P sobre o plano xy .

Desta forma, como $$x(r, \theta, z) = r \text{cos} ( \theta ),$$ $$y(r, \theta, z) = r \text{sen} ( \theta )$$ e z(r, \theta, z)=z a matriz jacobiana de x,y e z em relação a r, \theta e z é dada por $$\left[ \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z}\\\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc}
\text{cos} ( \theta ) & – r \text{sen} ( \theta ) & 0\\ \\ \text{sen} ( \theta ) & r \text{cos} ( \theta ) & 0\\ \\ 0 & 0 & 1\\\end{array} \right] .$$

A Matriz Jacobiana e as Coordenadas Esféricas

As coordenadas esféricas de um ponto P, cujas coordenadas cartesianas são (x,y,z), no espaço são dadas por $$r, \theta, \phi$$ onde r é a distância de P até a origem, \theta é mesma das coordenas cilíndricas e \phi é o ângulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento que une o ponto P à origem.

Desta forma, $$x(r, \theta, \phi) = r \text{cos} ( \theta )\text{sen} ( \phi ),$$ $$y(r, \theta, \phi) = r \text{sen} ( \theta )\text{sen} ( \phi )$$ e z(r, \theta, \phi)=r \text{cos} ( \phi ) e a matriz jacobiana de x,y e z em relação a r, \theta e \phi é dada por $$\left[ \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r, \theta , \phi)} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi}\\\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \text{cos} ( \theta )\text{sen} ( \phi ) & -r \text{sen} ( \theta ) \text{sen} ( \phi ) & r \text{cos} ( \theta ) \text{cos} ( \phi )\\ \\ \text{sen} ( \theta )\text{sen} ( \phi ) & r \text{cos} ( \theta ) \text{sen} ( \phi ) & r \text{cos} ( \theta ) \text{sen} ( \phi )\\ \\ \text{cos} ( \phi ) & 0 & -r\text{sen} ( \phi )\\\end{array} \right] .$$

A definição geral da Matriz Jacobiana

Seja f: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n , definida num conjunto aberto U \subset \mathbb{R}^m por $$f = (f_1 , f_2 , f_3 , … , f_n )$$ onde $$f_i : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$$, é diferenciável no ponto a \in U , sua derivada é a aplicação linear f'(a) : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n , caracterizada por $$ f(a+v) – f(a) = f'(a)\cdot v + r(v), \qquad \text{com   } \lim_{v \rightarrow 0}{\frac{r(v)}{|v|} } = 0.$$

A transformação linear f'(a) : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n possui, em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^m e \mathbb{R}^n , uma matriz n \times m chamada matriz jacobiana de f no ponto a , dada por $$ Jf(a) = \left[ \begin{array}{lll} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m} \\  \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots   \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_m} \\\end{array} \right]$$ onde a k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de f_k : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} .

O Jacobiano pode seu uma matriz não quadrada?

Como consequência direta desta definição podemos perceber que a matriz Jacobiana pode ser de qualquer forma. Pode ser uma matriz retangular, onde o número de linhas e colunas não é o mesmo, ou pode ser uma matriz quadrada, onde o número de linhas e colunas é igual

O Determinante Jacobiano

A matriz Jacobiana é diversas vezes referenciada como Jacobiano, mesmo este último sendo definido como o determinante da matriz Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.

EXEMPLO 1 (O Determinante Jacobiano para coordenadas polares): O determinante jacobiano, nesse caso, é dado por $$\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| = \left| \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ll} \cos{\theta} & -r\sin{\theta}\\ \\ \sin{\theta} & r\cos{ \theta} \end{array} \right| = r.$$

EXEMPLO 2 (O Determinante Jacobiano para coordenadas cilíndricas): O determinate jacobiano, nesse caso, é dado por $$\left| \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} \right| = \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z}\\\end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} \cos{\theta} & – r \sin{\theta} & 0\\ \\ \sin{\theta} & r \cos{\theta} & 0\\ \\ 0 & 0 & 1\\\end{array} \right| = r.$$

EXEMPLO 3 (O Determinante Jacobiano para coordenadas esféricas): O determinate jacobiano neste caso é dado por $$\left| \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r, \theta , \phi)} \right| = \left| \begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \phi}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \phi}\\ \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \phi}\\\end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} \cos{\theta}\sin{\phi} & -r \sin{\theta} \sin{\phi} & r \cos{\theta} \cos{\phi}\\ \\ \sin{\theta}\sin{\phi} & r \cos{\theta} \sin{\phi} & r \cos{\theta} \sin{\phi}\\ \\ \cos{\phi} & 0 & -r\sin{\phi}\\\end{array} \right| = r^2\sin{\phi}.$$

EXEMPLO 4: Considere u=x-y e v=x+y. Desta forma, $$x=\frac{u}{2}+\frac{v}{2}\;\;\;e\;\;\;y=\frac{u}{2}-\frac{v}{2},$$ assim $$\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| = \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array}
\right| = \left| \begin{array}{ll} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}
\right| = \frac{1}{2}.$$

Qual a aplicação do Jacobiano na Engenharia?

O Jacobiano pode ser usado para determinar a estabilidade de equilíbrios para sistemas de equações diferenciais aproximando o comportamento na vizinhança de um ponto de equilíbrio. Suas aplicações incluem determinar a estabilidade do equilíbrio livre de doença na modelagem de doenças.

Além disso, a Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial f: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n , definida num conjunto aberto U \subset \mathbb{R}^m , diferenciável em um ponto x_0 \in U \subset \mathbb{R}^m pode ser aproximada por $$ f(x) \approx f(x_0) + Jf(x_0)\cdot (x-x_0)^{T}$$ onde T indica a transposta de (x-x_0) e x e um ponto próximo de x_0 .

Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a matriz Jacobiana e seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).

Por fim, podemos afirmar que as Matrizes Jacobianas são uma ferramenta muito utilizada em toda a robótica e teoria de controle. Basicamente, um Jacobiano define a relação dinâmica entre duas representações diferentes de um sistema.

Leia Mais:

• A Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis a Valores Reais
• Coordenadas Polares e a Mudança de Variável nas Integrais Duplas
• Funções Dadas Implicitamente e o Teorema das Funções Implícitas
• Mudança de Variável em Integrais Triplas | Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Referências Bibliográficas do Artigo:

1. Wilfred Kaplan – “Advanced Calculus” [Link do livro]
2.  Erwin Kreyszig – “Matemática Superior para Engenharia – Vol. 1 e 2” [Link do livro 1] [Link do livro 2]
3. Hamilton Luiz Guidorizzi – “Um Curso de Cálculo, vol. 3” [Link do Livro]
4. Elon Lages Lima – “Curso de Análise, vol 2” [Link do Livro]