A Lei do Resfriamento de Newton

Vamos usar as equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem para deduzir e resolver a equação que modela a variação de temperatura, conhecida como a Lei do Resfriamento de Newton.

As equações diferenciais podem ser definidas como um método matemático utilizado para calcular a evolução de um sistema, ou seja, são tidas como ferramentas que auxiliam na resolução de problemas envolvendo certa mudança de medida ou dimensão causada pelo próprio processo.

O estudo das equações diferenciais teve início no século XVII através do matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz e de Isaac Newton, que juntos fundamentaram as bases do cálculo diferencial. No ano de 1701, Newton publicou anonimamente um artigo intitulado “Scala Graduum Caloris”, onde descreve um método para medir temperaturas de até 1000º C, algo impossível aos termômetros da época.

O método era fundamentado no que atualmente recebeu o nome de “lei do resfriamento de Newton” que afirma que “a taxa de variação temporal da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio circundante”.

Quando temos um corpo com uma temperatura mais elevada que é retirado do seu ambiente e colocado num local de temperatura mais baixa, acaba-se percebendo um fluxo de calor que agita o esta do equilíbrio, pois o corpo se adapta à temperatura do novo ambiente.

Para deduzirmos a fórmula criada por Newton é necessário conhecer um fenômeno simples e natural de mudança de temperatura: o equilíbrio térmico, que é um dos principais conceitos da termodinâmica:

Quando um corpo de temperatura $T$ é exposto à um ambiente cuja temperatura é $T_a$ (considerando que $T \neq T_a$ ), o corpo atinge o equilíbrio térmico com o ambiente, ou seja, calor é transferido de onde há maior temperatura para onde a temperatura é menor.

Ao analisar a forma como um objeto quente diminui sua temperatura com o passar do tempo mesmo estando em um sistema isolado (não perdendo calor por contato), Newton, através de princípios de conservação de energia (calor) pode constatar que o equilíbrio térmico com o ambiente só é possível pois o calor retirado do corpo quente é levado pelo movimento do ar.

Logo, podemos verificar algumas variáveis das quais uma taxa de resfriamento depende. São elas:

A diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente;
superfície exposta, sendo que, quanto maior for a superfície de contato entre o corpo e o meio externo (ambiente), mais rápido ocorrerá o resfriamento;
o calor específico do material constituinte do corpo, já que, quanto maior é o calor específico de um corpo, mais energia é necessária para variar sua temperatura;
as condições (umidade, temperatura, pressão, etc.) do ambiente;
o tempo de contato entre o corpo e o meio externo.

Modelagem matemática da Lei do Resfriamento de Newton

A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura $T(t)$ de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante $T_m$ do meio ambiente, isto é, $$ \frac{dT}{dt} = k(T – T_m )$$ em que $k$ é uma constante de proporcionalidade. Além disso, $\dfrac{dT}{dt}$ é chamada de taxa de resfriamento.

OBSERVAÇÕES:

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O corpo a ser considerado é sem aquecimento interno, que pode estar com temperatura mais elevada ou mais baixa que o ambiente;
Em alguns casos a constante $k$ é acompanhada de um sinal negativo para indicar que a temperatura do corpo que está sendo modelada está diminuindo no decorrer do tempo, tratando-se, portanto, de um processo de resfriamento. Mas, podemos considerar uma constante genérica, pois esta equação modela a mudança de temperatura de forma geral.

Agora, vamos resolver a equação que surge na lei do resfriamento de Newton: $$ \frac{dT}{dt} = k(T – T_m )$$ Esta equação pode ser resolvida como uma equação separável, escrevendo $$ \frac{dT}{(T – T_m )} = kdt \Leftrightarrow \ln{| T – T_m |} = kt + c_1$$ $$ \Leftrightarrow T – T_m = ce^{kt} \Leftrightarrow T(t) = ce^{kt} + T_m .$$ Usando o fato de que quando $t = 0$ a temperatura é igual a $T_0$ , encontramos $$ c = (T_0 – T_m),$$ ou seja, $$ T(t) = (T_0 – T_m ) e^{kt} + T_m.$$ Esta será a solução geral da equação $$ \frac{dT}{dt} = k(T – T_m ).$$ Observe que se $k < 0$ esta solução é estável e converge para $T_m$ quando $t \rightarrow \infty$ . Por outro lado, se $k > 0$ , então esta solução será divergente uando $t \rightarrow \infty$ .

O método criado por Newton para a determinação de variação de temperatura, foi de grande importância tanto como método matemático a ser estudado e usado como base para outras aplicações, como o estudo da resistência de certos materiais quanto ao resfriamento.

Referências do artigo:

SOUZA, Michel et al. Aplicação de equações diferenciais ordinárias para lei de resfriamento de Newton {S.l:s.n.], 2015.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015. [Link do Livro]
BATSCHELET, E.: Introdução à Matemática para Biocientistas. São Paulo: Interciência, 1978. [Link do Livro]

Lei do Resfriamento de Newton | Aplicações das E.D.O.’s de 1ª Ordem

Vamos usar as equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem para deduzir e resolver a equação que modela a variação de temperatura, conhecida como a Lei do Resfriamento de Newton.