Integral de Superfícies | 1ª Lista de Execícios Resolvidos

A integral de superfície de f(x,y,z) sobre a superfície \mathbb{S} é dada por $$\int\limits_{\mathbb{S}}\int{f(x,y,z) dS}.$$ Por outro lado, seja \vec{F} um campo vetorial definido sobre \mathbb{S}, a Integral de Superfície de \vec{F} sobre \mathbb{S} é denotada por $$\int\limits_{\mathbb{S}}\int{\vec{F} . \vec{n} dS} = \int\limits_{R}\int{\vec{F}(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) . \vec{n} (u,v) \left\| \frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v} \right\| dudv} .$$

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Integral de Superfície: 1ª Lista de Exercícios Resolvidos:

1. Calcule $$\int\limits_{\mathbb{S}}\int{\frac{\sigma}{\sqrt{x^2+y^2+(z+1)^2}} dS},$$ no hemisfério \mathbb{S}: x^2+y^2+ z^2 = 1; z\geq 0. Esta integral de superfície está intimamente ligada ao conceito de potencial eletrostático.

SOLUÇÃO: $$\int\limits_{\mathbb{S}}\int{\frac{\sigma}{\sqrt{x^2+y^2+(z+1)^2}} dS} = \int\limits_{\mathbb{R}}\int{\frac{\sigma}{\sqrt{2 (sen(v)+1)}}cos(v) dudv} =$$ $$= \frac{ \sigma}{\sqrt{2}}\int\limits_{-\pi /2}^{\pi /2}\int\limits_{0}^{2 \pi }{\frac{cos(v)}{\sqrt{sen(v) +1}} dudv}= \pi \sigma \sqrt{2} \int\limits_{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac{cos(v)}{\sqrt{sen(v) +1}} dudv} = 4 \pi \sigma.$$

2. Calcule a área da superfície S dada por $$S: r(u,v) = (u,v,1-u^2); \qquad u \geq 0, v \geq 0, u +v \leq 1 .$$

SOLUÇÃO: 

A superfície do exercício é ilustrada pela figura abaixo:

$$\frac{\partial r}{\partial u} = (1,0, -2u)$$ $$\frac{\partial r}{\partial v} = (1,0,0).$$

Temos: $$\frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v} = (1,0, -2u) \wedge (1,0,0) = (2u, 0, 1).$$

Assim, a área da superfície é dada por $$ \iint_{K}{\left\| \frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v} \right\|dudv} = \iint_{K}{\sqrt{4u^2 +1}dudv}$$ onde K é triângulo

Temos que: $$\iint_{K}{\sqrt{4u^2 +1}dudv} = \int\limits_{0}^{1}{\left[ \int\limits_{0}^{1-u}{\sqrt{4u^2 +1} dv} \right]du} = $$ $$ = \int\limits_{0}^{1}{(1-u)\sqrt{4u^2 +1} du} = \frac{\sqrt{5}}{12} + \frac{1}{4}\ln{(2 + \sqrt{5})} + \frac{1}{12}.$$

3. Calcule a integral de f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 sobre o hemisfério z = \sqrt{R^2 - x^2 -y^2}

SOLUÇÃO: 

Neste caso, precisamos usar as coordenadas particulares adaptadas à geometria do problema. Usando coordenadas esféricas encontramos $$f = R^2 sen^2 \theta + 2R cos \theta$$ e $$dS = R^2sen \theta d \theta d \phi $$ de sorte que $$ \iint_{S} { fdS} =  R^3 \int\limits_{0}^{2 \pi}d\phi \int\limits_{0}^{\pi /2}{(R sen^2 \theta + 2 cos \theta)sen \theta d \theta} = 2 \pi R^3 \left( – \frac{R}{3} + R + 1 \right) = \frac{2 \pi R^2 (3 +2 R)}{3}.$$

4. Use as integrais de superfície para calcular a área da esfera de raio a.

SOLUÇÃO: 

Sabemos que $$A = \int \int_{R}{dA},$$ onde R é o círculo com centro na origem e raio igual a a.

Observe que a superfície da esfera acima do plano xOy pode ser escrita como $$g(x,y) = \sqrt{a^2 -x^2 – y^2},$$  e a área total da esfera é o dobro do valor dessa área.

Logo, $$A = \int \int_{R}{dA} = 2 \int \int_{R}{\sqrt{1+\left( \frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial g}{\partial y}\right)^2}dxdy}$$ onde R é o círculo com centro na origem e raio a.

Ou seja, $$A = \int \int_{R}{\sqrt{1+ \frac{x^2 + y^2}{a^2 – x^2 – y^2}}dxdy} = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{a}{\sqrt{\frac{a^2}{a^2 – r^2}}r dr d \theta}=$$ $$= 2 \pi \int_{0}^{a}{\sqrt{\frac{a^2}{a^2 – r^2}}}r dr = 4 \pi a^2$$

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