Integral de Superfície: Conceito Básico e Exemplos Práticos

Aprenda os fundamentos das integrais de superfície e veja como elas podem ser aplicadas a problemas do mundo real com este guia abrangente.

Integral de superfície é um conceito importante na matemática do cálculo de várias variáveis. Essas integrais são usadas para calcular a área da superfície sobre a qual uma função é definida, permitindo-nos analisar e entender fenômenos complexos do mundo real. Neste guia, discutiremos o que é uma integral de superfície, como ela funciona e suas aplicações.

O que é uma Integral de Superfície?

De certa forma, as Integrais de Superfície são generalizações das Integrais de Linha, pois a lógica é análoga. Se definimos as Integrais de Linha usando a parametrização de curvas, agora usaremos as parametrizações das superfícies. Até por isso, é importante que o leitor tenha um conhecimento prévio do estudo básicos das superfícies.

Além disso, as Integrais de Superfície também serão separadas entre as integrais de campos escalares sobre uma superfície e as integrais de campos vetoriais. No meio do artigo queremos falar sobre duas interpretações físicas de cada uma das formas das Integrais de Superfícies.

A Integral de Superfície de um Campo Escalar

A integral de superfície de f(x,y,z) sobre a superfície \mathbb{S} é dada por $$\int\limits_{\mathbb{S}}\int{f(x,y,z) dS}.$$ Se \mathbb{S} é dada em sua forma paramétrica r(u,v), então $$\int\limits_{\mathbb{S}}\int{f(x,y,z) dS}= \int\limits_{R}\int{f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\left\|\frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v} \right\| dudv},$$ sendo R a região de domínio da superfície \mathbb{S}.

Por outro lado, se \mathbb{S} é dada em sua forma explícita z=g(x,y), então $$\int\limits_{\mathbb{S}}\int{f(x,y,z) dS}= \int\limits_{R}\int{f(x,y,g(x,y))\sqrt{1+\left( \frac{\partial g}{\partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial g}{\partial y}\right)^2}dxdy}.$$ Se a superfície é suave por partes então a integral de superfície é definida como a soma das integrais sobre cada pedaço suave da superfície.

INTEGRAL DE SUPERFÍCIE DE UM CAMPO VETORIAL

Considere uma  superfície suave \mathbb{S}, representada por $$\vec{r}(u,v) = x(u,v)\vec{i} + y(u,v)\vec{j} + z(u,v)\vec{k},$$ com (u,v) \in R e \vec{n} = \vec{n} (u,v) um vetor unitário normal a \mathbb{S}.

Seja \vec{F} um campo vetorial definido sobre \mathbb{S}, a Integral de Superfície de \vec{F} sobre \mathbb{S} é denotada por $$\int\limits_{\mathbb{S}}\int{\vec{F} . \vec{n} dS} = \int\limits_{R}\int{\vec{F}(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) . \vec{n} (u,v) \left\| \frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v} \right\| dudv} .$$

Como temos duas direções diferentes para os vetores normais unitários da superfície, então $$\vec{n} = \pm \frac{\frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v}}{\left\| \frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v} \right\|}.$$ Assim, a Integral de Superfície fica: $$\int\limits_{\mathbb{S}}\int{\vec{F} . \vec{n} dS} = \pm \int\limits_{R}\int{\vec{F}(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) . \left(\frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v} \right) dudv} .$$ O sinal da integral ira depender de qual será escolhido como o vetor normal unitário da superfície.

Exemplos Práticos da Integral de Superfície

1) Calcule \iint_{S}{(x+y+z)ds} onde S é dada por x = u, y = v e z = u + 2v, onde 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 1 .

SOLUÇÃO: $$\iint_{S}{(x+y+z)ds} = \iint\limits_{k}{(2u+3v)\left\| \frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} \right\|}dudv,$$ onde K é o quadrado $$ 0 \leq u \leq 1, \qquad 0 \leq v \leq 1.$$ Temos $$\frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} = (-1,-2,1)$$ e, portanto, $$ \left\| \frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} \right\| = \sqrt{6}.$$ Seque que $$\iint_{S}{(x+y+z)ds} = \sqrt{6}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}{(2u+3v)dudv} = \frac{5 \sqrt{6}}{2}.$$

2) Calcule \iint_{S}{(x^2 + y^2)(x+y+z)ds} onde S é dada novamente por x = u, y = v e z = u + 2v, onde 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 1 .

SOLUÇÃO: $$\iint_{S}{(x^2 + y^2)(x+y+z)ds} = \iint\limits_{k}{(u^2 + v^2)(2u+3v)\left\| \frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} \right\|}dudv,$$ onde K é o quadrado $$ 0 \leq u \leq 1, \qquad 0 \leq v \leq 1.$$ Já sabemos que, nestas condições, $$ \left\| \frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} \right\| = \sqrt{6}.$$ Daí, $$\iint_{S}{(x^2 + y^2)(x+y+z)ds} = \sqrt{6} \iint\limits_{k}{(2u^3 + 3u^2v + 2uv^2 + 3v^3)dudv} = \frac{25 \sqrt{6}}{12}$$

3) Calcule \iint_{S}{x(x+y+z)ds} onde S é dada, assim como no primeiro exercício, por x = u, y = v e z = u + 2v, onde 0 \leq u \leq 1 e 0 \leq v \leq 1 .

SOLUÇÃO: $$\iint_{S}{x(x+y+z)ds} = \sqrt{6} \iint\limits_{k}{u (2u + 3v)dudv} = \frac{17 \sqrt{6}}{12}$$

4) Lembrando que \iint\limits_{S}{\vec{f} \cdot \vec{n} dS} demonina-se fluxo de \vec{f} sobre a superfície S, na dreação de \vec{n} , calcule o fluxo de $$ \vec{v}(x,y,z) = 10 \vec{i} + (x^2 + y^2) \vec{j} – 2xy \vec{k}$$ através da superfície $$S: x = u; \qquad y = v ; \qquad z = 1 – u^2 -v^2, \qquad 0 \leq u \leq 1 \text{ e } 0 \leq v \leq 1$$ com orientação positiva do vetor normal.

SOLUÇÃO: $$ \iint\limits_{S}{\vec{f} \cdot \vec{n} dS} = \iint\limits_{k}{\vec{v}(S(u,v)) \cdot \left( \frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} \right)dudv},$$ onde K é o quadrado $$ 0 \leq u \leq 1, \qquad 0 \leq v \leq 1.$$ $$\frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} = (2u,2v,1).$$ Daí, $$ \iint\limits_{S}{\vec{f} \cdot \vec{n} dS} = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}{(10, u^2+v^2, – 2uv) \cdot (2u,2v,1) dudv} = \\ = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}{[20u+2u^2v+2v^3-2uv]dudv} = \frac{31}{3}.$$

5) Utilizando o teorema da divergência calcule \iint_{S}{\vec{F} \cdot \vec{n} dS} onde S é a fronteira do cilindro T = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R} ^3 | x^2 + y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 1 \right\} , \vec{F}(x,y,z) = \left(x, y, z^2\right) e \vec{n} é a normal apontando para fora de T.

SOLUÇÃO: $$ \iint_{S}{\vec{F} \cdot \vec{n} dS} = \iiint\limits_{B}{\text{div}\vec{F} dxdydz}.$$ Temos que $$ \iiint\limits_{B}{\text{div}\vec{F} dxdydz} = \iiint\limits_{B}{(2+2z)dxdydz} = \\ = \iint\limits_{K}{\left[ \int\limits_{0}^{1}{(2+2z)dz} \right] dxdy},$$ onde K é o círculo x^2+y^2 \leq 1 . Portanto, $$ \iiint\limits_{B}{\text{div}\vec{F} dxdydz} = \iiint\limits_{B}{(2+2z)dxdydz} = 3 \pi.$$

6) Utilizando o Teorema de Stokes calcule o fluxo do rotacional de \vec{f}(x,y,z) = (x, y, xyz) através da superfície $$z = 1 +x+y, \qquad x\geq 0 \qquad \text{ e } \qquad x + y \leq 1, $$ com normal apontando para baixo.

SOLUÇÃO: A superfície pode ser parametrizada como $$ x = u, \qquad y = v, \qquad z = 1 + v, \qquad u \geq 0, v \geq 0, u+v \leq 1.$$ Assim, $$\frac{\partial S}{\partial u} \times \frac{\partial S}{\partial v} = (-1,-1,1) $$ e, com isso, o vetor $$\vec{n_1} = \frac{\frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v}}{\left\| \frac{\partial r}{\partial u} \wedge \frac{\partial r}{\partial v} \right\|}$$ aponta para cima. Segue que \vec{n} = - \vec{n_1} ; logo, $$ \iint_{S}{\text{rot}\vec{F} \cdot \vec{n} dS} = – \iint_{S}{\text{rot}\vec{F} \cdot \vec{n} dS}=0.$$

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

1. GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo: Vol 1, 2,3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
2. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Editora Harbra, 1994.
3. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com geometria analítica, vol 1 e 2. São Paulo: Makron Books, 1994.
4. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Song, Inc., 8th Edition, 1999.
5. BATSCHELET, E. Introdução à Matemática para Biocientistas. São Paulo: Editora da USP, 1978.
6. ÁVILA, Geraldo S. S. Cálculo 3 – Funções de Várias Variáveis. 5ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, 1995.

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