16 Exercícios Resolvidos Sobre Integrais para Estudantes de Engenharia

Precisa de ajuda com integrais definidas e indefinidas? Confira estes 16 exercícios resolvidos projetados para estudantes de engenharia. Melhore suas habilidades e se prepare para suas provas!

Integrais podem ser um tópico desafiador para estudantes de engenharia, mas com prática e orientação, você pode dominá-las e se dar bem em disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. Aqui estão 16 exercícios resolvidos para ajudá-lo a melhorar suas habilidades e se preparar para suas provas. Seja você um ingressante que está vendo o cálculo pela primeira vez ou um veterano que precisa ser aprovado de qualquer maneira, esses exercícios o ajudarão a entender os conceitos e as técnicas envolvidas na solução de integrais, das integrações diretas ao cálculo de área, passando pelas técnicas como substituição e integração por partes, até as integrais impróprias.

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OBSERVAÇÃO 2: 

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16 Exercícios Resolvidos sobre Integrais para Estudantes de Engenharia

1) Calcule as integrais abaixo usando a técnica adequada:

a) \int{\left( 2w + \sqrt[5]{w} \right)dw}

Solução: Neste caso, podemos usar a integração direta: $$ \int{\left( 2w + \sqrt[5]{w} \right)dw} = \int{ 2wdw} + \int{ \sqrt[5]{w} dw} = 2 \frac{w^2}{2} + \int{ w^{\frac{1}{5} }dw }= \\ = w^2 + \frac{w^{\frac{1}{5} +1 }}{\frac{1}{5} +1  } = w^2 + \frac{5}{6} w^{\frac{6}{5}} + c $$

b) \int{x^2 \text{cos}(2x) dx}

Solução: Neste caso, precisamos usar a técnica da integração por partes. Num primeiro momento, consideramos $$ u = x^2 \Rightarrow du = 2xdx  \\ dv = \text{cos}(2x) dx \Rightarrow v = \int{\text{cos}(2x) dx} = \frac{\text{sen}(2x)}{2}$$ Logo, usando a fórmula $$ \int{udv} = u \cdot v – \int{vdu},$$ obtemos $$ \int{x^2 \text{cos}(2x) dx} = x^2 \frac{\text{sen}(2x)}{2} – \int{ 2x \frac{\text{sen}(2x)}{2} dx}. $$ Agora, precimos resolver a integral $$\int{ 2x \frac{\text{sen}(2x)}{2} dx}$$ usando a mesma técnica da integração por partes, considerando, desta vez: $$u = 2x \Rightarrow du = 2 dx \\ dv = \frac{\text{sen}(2x)}{2} dx \Rightarrow v = \int{ \frac{\text{sen}(2x)}{2} dx} = – \frac{\text{cos}(2x)}{4}.$$ Assim, encontramos que $$ \int{x^2 \text{cos}(2x) dx} = x^2 \frac{\text{sen}(2x)}{2} – \int{ 2x \frac{\text{sen}(2x)}{2} dx} = \\ = x^2 \frac{\text{sen}(2x)}{2} – \left[ – 2x  \frac{\text{cos}(2x)}{4} + 2 \int{\frac{\text{cos}(2x)}{4}} dx\right]  = \\ = x^2 \frac{\text{sen}(2x)}{2} – \left[ – 2x  \frac{\text{cos}(2x)}{4} + 2 \frac{\text{sen}(2x)}{8}\right] + c = \\ =   \frac{x^2}{2} \text{sen}(2x)  +  \frac{x}{2} \text{cos}(2x) – \frac{\text{sen}(2x)}{4} + c . $$

c) \int{x \sqrt{1+3x^2}dx}

Solução: Neste caso iremos usar a integração por substituição. Fazendo $$ u = 1 + 3x^2 \Rightarrow du = 6x dx \Rightarrow \frac{du}{6} = xdx $$ encontramos que $$ \int{x \sqrt{1+3x^2}dx} = \int{\sqrt{u} \frac{du}{6}} = \frac{1}{6} \int{u^{1/2} du} =\\ = \frac{1}{6} \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1}+c_1 =  \frac{1}{6} \frac{u^{3/2}}{3/2}+c_1 = \frac{1}{9}u^{3/2} + c_1 = \\ = \frac{1}{9}u^{3/2} + c_1 = \frac{1}{9} \sqrt{u^3}+c_1 = \frac{1}{9} \sqrt{( 1 +3x^2)^3}+c.$$

d) \int{\dfrac{x-5}{x^2-x-2} dx}

Solução: Observe que o denominador do quociente desta integral tem raízes reais iguais a 2 e -1, logo, pode ser escrito como $$ x^2 – x-2 = (x-2)(x+1), $$ o que nos leva a $$ \frac{x-5}{x^2-x-2} = \frac{x-5}{(x-2)(x+1)}.$$ Usando frações parciais encontramos $$ \frac{x-5}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} \Rightarrow x – 5 = A(x+1) + B(x-2).$$ Fazendo x = -1 encontramos $$ -1 – 5 = A (-1 + 1 ) + B(-1 -2 ) \Rightarrow -6 = -3 B \Rightarrow B = 2.$$ Agora, fazendo x = 2 encontramos $$ 2 -5 = A(2+1)+B(2 – 2) \Rightarrow -3 = 3 A \Rightarrow A = -1 .$$ Ou seja, $$\frac{x-5}{x^2-x-2} = \frac{x-5}{(x-2)(x+1)} = \frac{-1}{x-2} + \frac{2}{x+1}.$$ Portanto, $$\int{\frac{x-5}{x^2-x-2} dx} = \int{ \frac{x-5}{(x-2)(x+1)} dx} = \\ = \int{\frac{-1}{x-2} dx} + \int{ \frac{2}{x+1}dx} = -\text{ln}|x-2| + 2 \text{ln}|x+1| + c .$$

e) \int{ \text{cos}(4x) \text{cos}(3x)  dx}

Solução: Neste exercício iremos usar a propriedade trigonométrica $$ \text{cos}(a) \text{cos}(b) = \frac{1}{2}\left[ \text{cos}(a+b) + \text{cos}(a-b) \right].$$ Assim, $$ \int{ \text{cos}(4x) \text{cos}(3x)  dx} = \int{\frac{1}{2}\left[ \text{cos}(7x) + \text{cos}(x) \right] dx} = \\ = \frac{1}{2}\left[ \int{\text{cos}(7x) dx} + \int{ \text{cos}(x) dx}  \right] = \frac{1}{2}\left[ \frac{\text{sen}(7x)}{7} + \text{sen}(x)  \right] + c$$

f) \int{e^{2x} \text{sen}(x)dx}

Solução: Neste exercício precisamos usar a técnica da integraçõ por partes novamente. Primeiramente considere: $$ u = e^{2x} \Rightarrow du = 2 e^{2x}dx \\ dv = \text{sen}(x) \Rightarrow v = \int{\text{sen}(x) dx} = -\text{cos}(x).$$ Aplicando a integração por partes, obtemos $$ \int{e^{2x} \text{sen}(x)dx} = – e^{2x} \text{cos}(x) – \int{-\text{cos}(x) 2 e^{2x}dx} =\\= – e^{2x} \text{cos}(x) + 2 \int{e^{2x} \text{cos}(x) dx}.$$ Agora, precisamos resolver $$ \int{e^{2x} \text{cos}(x) dx}.$$ Aplicando novamente a integração por partes, fazemos $$ u = e^{2x} \Rightarrow du = 2 e^{2x}dx \\ dv = \text{cos}(x) \Rightarrow v = \int{\text{cos}(x) dx} = \text{sen}(x)$$ e obtemos $$ \int{e^{2x} \text{cos}(x) dx} = e^{2x} \text{sen}(x) – \int{2 e^{2x} \text{sen}(x) dx} = e^{2x} \text{sen}(x) – 2 \int{ e^{2x} \text{sen}(x) dx}.$$ Desta forma, $$ \int{e^{2x} \text{sen}(x)} = – e^{2x} \text{cos}(x) + 2 \left[ e^{2x} \text{sen}(x) – 2 \int{ e^{2x} \text{sen}(x) dx} \right] $$ ou seja, $$ \int{e^{2x} \text{sen}(x)} = – e^{2x} \text{cos}(x) + 2 e^{2x} \text{sen}(x) – 4 \int{ e^{2x} \text{sen}(x) dx} .$$ Somando $$ 4 \int{ e^{2x} \text{sen}(x) dx} $$ em ambos os lados da igualdade, eoncontramos $$ 5 \int{e^{2x} \text{sen}(x)} = – e^{2x} \text{cos}(x) + 2 e^{2x} \text{sen}(x)$$ e, portanto, $$\int{e^{2x} \text{sen}(x)} = \frac{1}{5} \left[ – e^{2x} \text{cos}(x) + 2 e^{2x} \text{sen}(x) \right] + c .$$

g) \int{\dfrac{1}{\sqrt{(x^2+3)^3}}dx}

Solução: Primeiramente observe que $$ \int{\frac{1}{\sqrt{(x^2+3)^3}}dx} = \int{ \frac{1}{(x^2+3)\sqrt{x^2 +3}}dx }.$$ Agora, usando a substituição trigonométrica $$ x = \sqrt{3} \text{tg}{u} \Rightarrow dx = \sqrt{3} \text{sec}^{2}(u) du$$ encontramos $$\int{\frac{1}{\sqrt{(x^2+3)^3}}dx} = \int{ \frac{1}{(x^2+3)\sqrt{x^2 +3}}dx } = \int{\frac{ \sqrt{3} \text{sec}^{2}(u) du}{ (\left[ \sqrt{3} \text{tg}{u}\right] ^2+3)\sqrt{ \left[ \sqrt{3} \text{tg}{u}\right] ^2 +3}}} = \\ = \int{\frac{\sqrt{3} \text{sec}^{2}(u) du}{3 (\text{tg}^{2}(u) +1) \sqrt{3 (\text{tg}^{2}(u) +1)} } } =  \int{\frac{\sqrt{3} \text{sec}^{2}(u) du}{3 \text{sec}^{2}(u) \sqrt{3} \text{sec}(u) } } = \int{ \frac{du}{3 \text{sec}(u)}} = \\ = 3\int{\text{cos}(u) du} = 3 \text{sen}(u) + c_1.$$ Observando que $$ x = \sqrt{3} \text{tg}{u} \Rightarrow u = \text{arc tg} \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right),$$ encontramos a solução $$ \int{\frac{1}{\sqrt{(x^2+3)^3}}dx} = 3 \text{sen}\left( \text{arc tg} \left[ \frac{x}{\sqrt{3}} \right] \right) + c.$$

h) \int{\dfrac{8x^2+3x+20}{x^3+x^2 +4x+4} dx}

Solução: Olhando para o denominador, facilmente percebemos que -1 é uma raíz real. Logo podemos utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para determinar que $$x^3+x^2 +4x+4 = (x+1)(x^2+4).$$ Logo, podemos escrever esta integral como $$ \int{\frac{8x^2+3x+20}{x^3+x^2 +4x+4} dx} = \int{\frac{8x^2+3x+20}{(x+1)(x^2+4)} dx}.$$ Usando Frações Parciais, encontramos $$ \frac{8x^2+3x+20}{(x+1)(x^2+4)} = \frac{5}{x+1} + \frac{3x}{x^2+4}.$$  Desta forma,  $$\int{\frac{8x^2+3x+20}{(x+1)(x^2+4)} dx} = \int{ \frac{5}{x+1} dx} + \int{ \frac{3x}{x^2+4}  dx} = 5 \int{ \frac{1}{x+1} dx} + 3 \int{ \frac{x}{x^2+4}  dx} .$$ Usando integração por substituição em ambos os casos encontramos $$ \int{ \frac{1}{x+1} dx} = \text{ln}|x+1| + c_1 $$ e $$ \int{ \frac{x}{x^2+4}  dx} = \int{ \frac{du}{2u}} = \frac{1}{2} \text{ln}|u| + c_2 = \frac{1}{2} \text{ln}|x^2 +4| + c_3 .$$ Portanto, $$\int{\frac{8x^2+3x+20}{(x+1)(x^2+4)} dx} = 5 \text{ln}|x+1| + \frac{3}{2} \text{ln}|x^2 +4| + c.$$

2) a) Determine a função u = u(x) , tal que $$ \frac{du}{dx}= \text{cos}(2u); \qquad u(0)=1.$$ 

Solução: Partindo de $$ \frac{du}{dx} = \text{cos}(2u)$$ podemos efetuar a manipulação algébrica $$ \frac{du}{\text{cos}(2u)} = dx \Rightarrow \text{sec}(2u) du = dx.$$ Integrando em ambos os lados encontramos a solução implícita  $$\int{\text{sec}(2u) du} = \int{dx} \Rightarrow \frac{1}{2} \text{ln} \left| \text{tg}(2u) + \text{sec} (2u)\right| = x +c.$$ Usando a condição inicial u(0)=1 : $$ \frac{1}{2} \text{ln} \left| \text{tg}(2) + \text{sec} (2)\right| = c.$$ Logo, $$ \frac{1}{2} \text{ln} \left| \text{tg}(2u) + \text{sec} (2u)\right| = x +\frac{1}{2} \text{ln} \left| \text{tg}(2) + \text{sec} (2)\right| .$$ Ou seja, a função u = u(x) é dada implicitamente pela relação $$ \text{ln} \left| \text{tg}(2u) + \text{sec} (2u)\right| = 2x + \text{ln} \left| \text{tg}(2) + \text{sec} (2)\right| $$ é uma soluão implícita da equação procurada.

b) Determine a função z = z(x) , tal que $$ \frac{dz}{dx}= \frac{1}{2} x+ 3; \qquad z(-1)=0.$$ 

Solução: Partindo da equação $$\frac{dz}{dx} = \frac{1}{2} x + 3 $$ obtemos $$z(x) = \int{\left( \frac{1}{2} x + 3 \right) dx } = \frac{1}{4} x^2 + 3x+c .$$ Usando a condição inicial z(-1) = 0 , encontramos $$ 0 = \frac{1}{4}  – 3 +c \Rightarrow c = \frac{11}{4}.$$ Portanto, $$z(x) = \frac{1}{4} x^2 + 3x +\frac{11}{4}$$ é a função procurada.

c) Calcule, caso seja convergente, $$ \int\limits_{1}^{+ \infty}{\frac{1}{x \sqrt{x} }dx}.$$

Solução: Aqui temos uma integral imprópria, mas primeiramente vamos resolver a integral indefinida assosiada a esta integral imprópria: $$ \int{\frac{1}{x \sqrt{x} }dx} = \int{\frac{1}{x^{3/2}}dx} = \\ =  \int{x^{-3/2}dx} = – 2 x^{-1/2} + c = \frac{-2}{\sqrt{x}} +c.$$ Desta forma, a integral imprópria é convergente e com valor dado por: $$ \int\limits_{1}^{+ \infty}{\frac{1}{x \sqrt{x} }dx} = \lim\limits_{M \rightarrow + \infty}{\left( \frac{-2}{\sqrt{M}} – \frac{-2}{\sqrt{1}} \right)} = \lim\limits_{M \rightarrow + \infty}{\left( \frac{-2}{\sqrt{M}} + 2 \right)} = 2, $$ pois $$ \lim\limits_{M \rightarrow + \infty}{\frac{-2}{\sqrt{M}}} = 0 .$$

d) Calcule $$ \int\limits_{0}^{1}{\frac{x^2 dy}{(x^3 +1 )^5}}.$$

Solução: Observe que como nossa integral deve ser calculada para a variável y , então a variável x deve ser encarada como uma constante dentro do proceso de integração. Desta forma, $$ \int\limits_{0}^{1}{\frac{x^2 dy}{(x^3 +1 )^5}} = \frac{x^2 }{(x^3 +1 )^5} \int\limits_{0}^{1} {dy} = \\ =  \frac{x^2 }{(x^3 +1 )^5}[1-0] = \frac{x^2 }{(x^3 +1 )^5}  .$$

3) Ache a área da região limitada pelas curvas y = -x^2+4x e y = x^2. Esboce esta região.

Solução: A área que queremos calcular é a da região esboçada abaixo:

Os pontos de interseção dos gráficos das duas funções são dados pela relação $$ -x^2 + 4x = x^2 \Rightarrow 2x^2 – 4x = 0 \Rightarrow x^2 -2x =  \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x =0 \text{ ou } x = 2.$$ Portanto, esta área que está toda acima do eixo Ox, é calculada como $$ \int\limits_{0}^{2}{(-x^2 +4x – x^2)dx} = \int\limits_{0}^{2}{(-2x^2 +4x)dx} = \\ = \left[  -\frac{2}{3} x^3+2x^2 \right]_{0}^{2} = \left[  -\frac{16}{3} +8 \right] – 0 = -\frac{16}{3}  + \frac{24}{3}  = \frac{8}{3} \text{ u. a.}$$

4) Ache a área da região limitada pela reta y = -2x de a= -1 até b= 3

Solução: Observando o esboço da região da área a ser calculada, dado abaixo percebemos que quando 0 \leq x \leq 3 a área está abaixo do eixo Ox.

Logo esta área será dada por $$ A = \int\limits_{-1}^{0}{-2xdx} + \int\limits_{0}^{3}{2xdx} = \left[-x^2 \right]_{-1}^{0} + \left[x^2 \right]_{0}^{3} = 1 + 9 = 10 \text{ u. a.}$$

5) Ache a área do triângulo de vértices (-1,0), (2,0) e (0,1) utilizando a integral definida.

Solução: Pelo esboço da região dado abaixo, precisaremos dividir a região em duas partes para calcular sua área usando integrais. Para isso fixemos os pontos A(-1,0) , B(0,1) e C(-2,0) .

Assim, podemos afirmar que a área desta região é dada por $$ A = \int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{g(x)dx},$$ onde:

• f(x) é função afim cujo gráfico passa pelos pontos A e B;
• g(x) é a função afim cujo gráfico passa pelos pontos B e C.

Usando a fórmula $$y= ax+b$$ encontramos:

• A função afim cujo gráfico passa pelos pontos A e B satisfaz o sistema: $$ 0 = -a +b$$ $$1 = b$$ logo a =1 , o que nos dá $$f(x) = x+1;$$
• Da mesma maneira, a função afim que passa por B e C satisfaz o sistema: $$1 = b $$ $$0 = 2a +b$$ logo, a= - \dfrac{1}{2} , o que nos leva a $$g(x) = -\frac{1}{2} x  +1 .$$

Portanto, a área do triângulo será $$\int\limits_{-1}^{0}{(x+1)dx}+\int\limits_{0}^{2}{\left( -\frac{1}{2} x  +1 \right) dx} = \\ \left[ \frac{x^2}{2} + x\right]_{-1}^{0} + \left[ – \frac{x^2}{4}+x \right]_{0}^{2} = \left[ – \frac{1}{2} +1 \right] + \left[ – 1 + 2\right] = \frac{1}{2} +1 = \frac{3}{2} \text{u. a.} $$

6) Calcule o comprimento de arco da curva $$y = \frac{x^4}{4} + \frac{1}{8x^2}$$ tal que 1 \leq x \leq 2 .

Solução: Como nossa curva tem sua equação dada na forma cartesiana, usaremos a fórmula $$ s = \int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1 + [y'(x)]^2}dx},$$ onde $$ y'(x) = x^3 -\frac{1}{4} \frac{1}{x^3}.$$ Daí, $$ s = \int\limits_{1}^{2}{\sqrt{1 + \left[ x^3 -\frac{1}{4} \frac{1}{x^3} \right]^2}dx} = \int\limits_{1}^{2}{\sqrt{1 + \left[ \frac{4x^6- 1}{4x^3} \right]^2}dx} = \int\limits_{1}^{2}{\sqrt{1 + \frac{(4x^6- 1)^2}{16x^6} 2}dx} = \\ = \int\limits_{1}^{2}{\sqrt{\frac{16x^6+ (4x^6- 1)^2}{16x^6} }dx} =\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{\frac{16x^6+16x^{12}-8x^6 +1}{16x^6} }dx} = \\ = \int\limits_{1}^{2}{\sqrt{\frac{16x^{12}+8x^6 +1}{16x^6} }dx} = \int\limits_{1}^{2}{\sqrt{\frac{(4x^6+1)^2}{16x^6} }dx} = \int\limits_{1}^{2}{\frac{(4x^6+1)}{4x^3} dx} = \\ = \int\limits_{1}^{2}{\left[ \frac{x^3}{4} + \frac{1}{16 x^3}\right]dx} = \left[ \frac{x^4}{16} – \frac{1}{32 x^2}\right]_{1}^{2} = \left[1 –  \frac{1}{128} \right] – \left[\frac{1}{16} –  \frac{1}{32} \right] = \frac{119}{128}.$$

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