Integrais Duplas Impróprias | Teoria e Exercícios Resolvidos.

As integrais duplas impróprias podem ser vistas como extensões dos conceitos das integrais impróprias de funções de uma variável. A teoria das Integrais Duplas, como definimos neste artigo, é construída sobre o fato de considerarmos funções contínuas em domínios compactos. Agora queremos fugir desta premissa, estendendo este conceito a certos casos em que o domínio de integração não seja compacto. Isso é feito através de limites, como no caso de funções de uma variável.

Integrais Duplas Impróprias

Existem dois casos a serem considerados quando falamos em integrais duplas impróprias:

1º Caso: Queremos integrar uma função f definida num conjunto compacto D, exceto em um ponto P de sua fronteira, sendo impossível estender a função f de maneira a torná-la contínua em P.

Um ponto nestas condições é chamado de ponto singular de f.

Seja A_{\varepsilon} um conjunto aberto contendo P, de diâmetro \varepsilon e seja D_{\varepsilon} = D - A_{\varepsilon} .

Se a integral que desejamos calcular tiver limite finito com \varepsilon \rightarrow 0 , independente dos conjuntos A_{\varepsilon} que se considerem, definimos esse limite como sendo a integral imprópria de f sobre D: $$ \int \int _{D}{f(x,y)dxdy} = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \int\int_{D_{\varepsilon} }{f(x,y)dxdy}.$$

2º Caso: Queremos integrar uma função f definida num conjunto naõ limitado D.

Seja D_R um domínio compacto contido em D e tal que qualquer ponto de D esteja contido em D_R , sendo R um número real suficientemente grande. Se a integral de f sobre D_R tiver limite finito com R \rightarrow \infty , independente dos conjuntos D_R que se considerem, novamente definimos esse limite como sendo a integral imprópria de f sobre D:

$$ \int \int _{D}{f(x,y)dxdy} = \lim\limits_{R \rightarrow \infty} \int\int_{D_{R} }{f(x,y)dxdy}.$$

Esse caso garante que podemos integrar em direções infinitas do plano, ou até mesmo sobre todo o plano, como faremos no segundo exercícios resolvido.

OBSERVAÇÃO 1:

Obviamente as ideias usadas nos dois casos podem ser estendidas a outros tipos de integrais impróprias. Assim se a função f tiver várias singularidades P_1, P_2, P_3, ..., P_r na fronteira do seu domínio D, consideramos primeiro a integral sobre o domínio D' = D-V_1-V_2-...-V_r , onde cada conjunto V_i; i=1,...r, sejam vizinhas dos pontos P_1, P_2, P_3, ..., P_r , respectivamente. Uma vez efetuada a integral de f sobre D, passamos ao limite com os diâmetros das vizinhanças V_i; i=1,...r, tendendo a zero. Esse limite será a integral imprópria de f sobre D. As vezes as singularidades de f são em número infinito, podendo mesmo se constituírem num segmento retlíneo ou arco de curva.

OBSERVAÇÃO 2:

Muitas vezes é impossível calcular efetivamente uma integral imprópria, embora seja possível provar que ela converge. Para isto basta mostrar que a integral em questão é absolutamente convergente, já que os mesmo teoremas sobre convergência de integrais simples se estendem às integrais múltiplas, com as mesmas demonstrações.

Exercícios Resolvidos sobre Integrais Duplas Impróprias

1) Vamos Calcular $$ \int \int _{x^2+y^2 \leq 1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+ y^2}}dxdy} $$

Observe que neste caso a função $$ f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2+ y^2}}$$ possui uma singularidade na origem, não sendo, desta forma, integrável no disco x^2+y^2 \leq 1 .

No entanto, sua integral existe neste disco no sentido impróprio. Usando coordenadas polares, integrando sobre o domínio anular $$ D_{\varepsilon} : \varepsilon \leq x^2+y^2 \leq 1 $$ e passando ao limite, com \varepsilon \rightarrow 0 , obtemos

$$ \int \int _{x^2+y^2 \leq 1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+ y^2}}dxdy} = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \int \int _{\varepsilon \leq x^2+y^2 \leq 1}{\frac{1}{\sqrt{x^2+ y^2}}dxdy}=$$ $$= \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{0}^{2\pi} \int _{\varepsilon}^{1}{\frac{1}{r}rdrd\theta} = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0}{2\pi(1-\varepsilon ) = 2 \pi}$$

2) Vamos Calcular $$ \int \int _{\mathbb{R}^2}{e^{-x^2-y^2}dxdy} $$

Neste exercício queremos calcular a integral imprópria da função f(x,y) = e^{-x^2-y^2} sobre todo o plano. O que no dá:

$$\int_{- \infty}^{ \infty} \int _{- \infty}^{ \infty}{e^{-x^2-y^2} dxdy} = \lim\limits_{R \rightarrow \infty} \int \int _{x^2+y^2 \leq R}{e^{-x^2-y^2} dxdy} =  $$ $$ = \lim\limits_{R \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} \int _{0}^{ R}{e^{-r^2} rdrd\theta} = \pi \lim\limits_{R \rightarrow \infty} {\left(  e^{-r^2} \right)_{0}^{R}} = \pi$$

OBSERVAÇÃO: Uma importante aplicação da integral do exercício anterior é o cálculo da chamada Integral de Poisson, $$ \int_{- \infty}^{ \infty}{e^{-x^2} dx} = \lim\limits_{R \rightarrow \infty} \int _{-R}^{ R} {-e^{-x^2} dx}= \sqrt{\pi}$$

3) Vamos calcular $$ \int \int _{D}{\frac{1}{\sqrt{xy}}dxdy} $$ onde D é o domínio $$0 < x \leq 1, \;\;\; 0 < y \leq 1. $$

Note que esta função tem singularidades nos segmentos $$I_x : \{ (x,0) \in \mathbb{R} ^2; 0 < x \leq 1 \} $$ $$I_y : \{ (0,y) \in \mathbb{R} ^2; 0 < y \leq 1 \} .$$  No entanto, ela é contínua, portanto integrável, no domínio $$D’ : \varepsilon < x \leq 1, \;\;\; \varepsilon < y \leq 1,$$ onde \varepsilon > 0 .

Portanto, $$ \int \int _{D}{\frac{1}{\sqrt{xy}}dxdy} = \int_{0}^{1} \int _{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}dxdy} = $$  $$ = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{\varepsilon}^{1} \int _{\varepsilon}^{1}{\frac{1}{\sqrt{xy}}dxdy} = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{\varepsilon}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx} \int _{\varepsilon}^{1}{\frac{1}{\sqrt{y}}dy} = $$ $$ = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0}{\left( 2 \sqrt{x} \right)_{\varepsilon}^{1} \left( 2 \sqrt{y} \right)_{\varepsilon}^{1}} = \lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0}{4 (1 – \varepsilon )} = 4.$$

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