Função Degrau Unitário | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

A função degrau unitário é denotada por u(t-a) e dada por: $$u(t-a) = \left\{ \begin{array}{lll}
0 & ; & t<a\\
1& ; & t \geq a\\
\end{array} \right. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a \geq 0.$$ Observe que definimos a função degrau unitário somente para valores maiores do que zero de t, pois isso é suficiente para o estudo da Transformada de Laplace, mas num sentido mais amplo $$u(t-a) <0, \forall t<a.$$

Para uma função f definida para t\geq 0, considere a função g dada por $$g(t) = \left\{ \begin{array}{lll}
0 & ; & t<a\\
f(t-a)& ; & t\geq a\\
\end{array} \right.$$ que representa a translação de f a uma distância a$. Nos termos da função degrau unitário podemos escrever g(t) como $$g(t) = u(t-a)f(t-a).$$

Se f(t) possui a transformada F(s), então a função $$\widetilde{f}(t) = f(t-a)u(t-a) = \left\{ \begin{array}{lll}
0 & ; & t<a\\
f(t-a)& ; & t\geq a\\
\end{array} \right.$$
possui transformada dada por e^{-as}F(s). Ou seja, se \mathscr{L}\{ f(t) \} = F(s), então $$\mathscr{L}\{ f(t-a)u(t-a) \} = e^{-as} F(s).$$ Consequentemente, $$ f(t-a)u(t-a) = \mathscr{L}^{-1} \{e^{-as} F(s) \}.$$

Função Degrau Unitário | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Calcule:

a) \mathscr{L} \left[(t-2)^3 u(t-2)  \right]

SOLUÇÃO: 

Como a=2, segue do teorema da Translação que $$ \mathscr{L} \left[(t-2)^3 u(t-2)  \right] = e^{-2s} \mathscr{L} \left[t^3 \right] = \frac{6e^{-2s}}{s^4} $$

b) \mathscr{L} \left[sen(t) u(t- 2 \pi)  \right]

SOLUÇÃO: 

Nesse caso será necessário um ajuste para aplicar o Teorema da Translação. Lembrando que a função seno tem período igual a 2 \pi , então sen(t) = sen (t - 2 \pi) .

Logo, \mathscr{L} \left[sen(t) u(t- 2 \pi)  \right] = \mathscr{L} \left[sen(t - 2 \pi) u(t- 2 \pi)  \right].

Desta forma, como a=2, segue do teorema da Translação que $$ \mathscr{L} \left[sen(t – 2 \pi) u(t- 2 \pi)  \right] = e^{-2 \pi s} \mathscr{L} \left[sen(t) \right] = \frac{e^{-2 \pi s}}{s^2 +1}. $$

c) \mathscr{L} \left[(2t-3) u(t- 1)  \right]

SOLUÇÃO: 

O Teorema da Translação não pode ser aplicado imediatamente para o cálculo de \mathscr{L} \left[(2t-3) u(t- 1)  \right], pois a função a ser transformada não está na forma f(t-a) u(t-a) .

Teremos, então que escrever 2t -3 , em termos de t-1: $$ 2t -3 = 2 (t – 1) -1.$$

Logo, $$\mathscr{L} \left[(2t-3) u(t- 1)  \right] = \mathscr{L} \left[(2 (t – 1) -1) u(t- 1)  \right] = $$ $$ = e^{-s} \mathscr{L} \left[(2t – 1)  \right] = e^{-s} \left( \frac{2}{s^2} – \frac{1}{s} \right) . $$

d) \mathscr{L} \left[sen(t) u(t- 2 \pi)  \right]

SOLUÇÃO: 

Nesse caso será necessário um ajuste para aplicar o Teorema da Translação. Lembrando que a função seno tem período igual a 2 \pi , então sen(t) = sen (t - 2 \pi) .

Logo, \mathscr{L} \left[sen(t) u(t- 2 \pi)  \right] = \mathscr{L} \left[sen(t - 2 \pi) u(t- 2 \pi)  \right].

Desta forma, como a=2, segue do teorema da Translação que $$ \mathscr{L} \left[sen(t – 2 \pi) u(t- 2 \pi)  \right] = e^{-2 \pi s} \mathscr{L} \left[sen(t) \right] = \frac{e^{-2 \pi s}}{s^2 +1}. $$

e) \mathscr{L} \left[(2t-3) u(t- 1)  \right]

SOLUÇÃO: 

O Teorema da Translação não pode ser aplicado imediatamente para o cálculo de \mathscr{L} \left[(2t-3) u(t- 1)  \right], pois a função a ser transformada não está na forma f(t-a) u(t-a) .

Teremos, então que escrever 2t -3 , em termos de t-1: $$ 2t -3 = 2 (t – 1) -1.$$

Logo, $$\mathscr{L} \left[(2t-3) u(t- 1)  \right] = \mathscr{L} \left[(2 (t – 1) -1) u(t- 1)  \right] = $$ $$ = e^{-s} \mathscr{L} \left[(2t – 1)  \right] = e^{-s} \left( \frac{2}{s^2} – \frac{1}{s} \right) . $$

2) Calcule:

a) \mathscr{L} ^{-1} \left( \dfrac{e^{- s \pi/2}}{s^2 +9} \right);

SOLUÇÃO:

Verificamos que a = \dfrac{ \pi}{2}   e f(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left( \dfrac{1}{s^2 +9} \right) = \dfrac{1}{3} sen(3t) . Portanto, usando o Teorema da Translação: $$\mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{e^{- s \pi/2}}{s^2 +9} \right) = \frac{1}{3} sen \left( 3 \left[ t – \frac{\pi}{2} \right]  \right) u \left( t – \frac{\pi}{2} \right).$$

Usando uma propriedade podemos refinar esse resultado encontrando $$\mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{e^{- s \pi/2}}{s^2 +9} \right) = \frac{1}{3} cos (3t) u \left( t – \frac{\pi}{2} \right).$$

b) \mathscr{L} ^{-1} \left( \dfrac{e^{- s \pi/2}}{s^2 +9} \right);

SOLUÇÃO:

Verificamos que a = \dfrac{ \pi}{2}   e f(t) = \mathscr{L} ^{-1} \left( \dfrac{1}{s^2 +9} \right) = \dfrac{1}{3} sen(3t) . Portanto, usando o Teorema da Translação: $$\mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{e^{- s \pi/2}}{s^2 +9} \right) = \frac{1}{3} sen \left( 3 \left[ t – \frac{\pi}{2} \right]  \right) u \left( t – \frac{\pi}{2} \right).$$

Usando uma propriedade podemos refinar esse resultado encontrando $$\mathscr{L} ^{-1} \left( \frac{e^{- s \pi/2}}{s^2 +9} \right) = \frac{1}{3} cos (3t) u \left( t – \frac{\pi}{2} \right).$$

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