Estes são os 10 Principais Tipos de Matrizes na Matemática

Matematicamente, uma matriz é um arranjo de números em linhas e colunas. Vamos ver quais são os principais tipos de matrizes.

Uma matriz $A$ , $m \times n$ (lê-se: $m$ por $n$ ), é uma tabela de $m \cdot n$ números dispostos em $m$ linhas e $n$ colunas. Desta forma, representamos uma matriz colocando a tabela dentro de parênteses ou de colchetes, ou ladeado a tabela, à esquerda e à direita, por duas barras verticais, do seguinte modo: $$ A = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right] .$$

Neste sentido, podemos estabelecer que a i- ésima linha de $A$ é dada por $$\left[ \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \end{array} \right]$$para $j = 1, . . . ,n$ e a j- ésima coluna de $A$ é $$\left[ \begin{array}{cccc} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}\\ \end{array} \right] .$$ Dizemos que $a_{ij}$ é o elemento ou a entrada de posição $i,j$ da matriz $A$ .

Indicaremos por $\mathbb{M}_{m \times n} \left( \mathbb{R} \right)$ como o conjunto das matrizes reais de ordem $m \times n$ . Se $m = n$ , ao invés de $\mathbb{M}_{n \times n} \left( \mathbb{R} \right)$ usa-se a notação $\mathbb{M}_{n} \left( \mathbb{R} \right)$ .

Livro referência deste artigo sobre os Tipos de Matrizes: “Álgebra linear”, de Boldrini, Costa, Figueiredo & Wetzler.

Assista nossa aula sobre os principais tipos de matrizes no nosso canal do Youtube:

Principais Tipos de Matrizes

1. Matriz Linha

Uma matriz que só possui uma linha é chamada matriz linha. Por Exemplo: $$ A= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & -2 \\ \end{array} \right] $$

2. Matriz Coluna

Uma matriz que só possui uma coluna é chamada matriz coluna. Por Exemplo: $$ B= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \\ \end{array} \right] $$

OBSERVAÇÃO: Matrizes linha e matrizes coluna são, geralmente, chamadas de vetores.

3. Matriz Quadrada

Se $m = n$ , dizemos que $A$ é uma matriz quadrada de ordem $n$ . Por Exemplo: $$ B= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 78 \\ 0 & 7 & 0 \\ 2 & 15 & 3 \end{array} \right] $$ é uma matriz quadrada de terceira ordem.

os elementos $a_{11}, a_{22}, . . . , a_{nn}$ formam a diagonal principal de $A$ . Já os elementos de $A$ cuja soma dos índices da linha e da coluna é igual a $n + 1$ constituem a diagonal secundária de $A$ .

OBSERVAÇÃO: Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de matriz retangular.

4. Matriz Diagonal

Uma matriz $A_{n}$ é dita diagonal quando seus únicos termos não-nulos se localizam na diagonal principal. Por Exemplo: $$ B= \left[ \begin{array}{cccc} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array} \right] $$

5. Matriz Nula

Uma matriz nula é aquela em que todas as entradas são nulas.

Ou seja, a matriz nula de terceira ordem é dada por $$ B= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $$

6. Matriz Identidade

A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todas as entradas da diagonal principal são iguais a $1$ e todas as outras são nulas. Esta matriz é indicada por $I$ e é dada por: $$ I= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$ que é a matriz identidade de ordem $3$ .

7. Matriz Transposta

Dada a matriz $A$ chamamos de matriz transposta de $A$ à matriz onde troca-se ordenadamente as linhas e as colunas da matriz $A$ . Esta matriz é indicada por $A^{T}$ .

Por exemplo: $$ A= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 78 \\ 0 & 7 & 0 \\ \end{array} \right] \Rightarrow$ $ A^t= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 \\ 0 & 7 \\ 78 & 0 \end{array} \right] $$

OBSERVAÇÃO: Se a matriz $A$ é de ordem $n \times m$ , sua transposta é de ordem $m \times n$ .

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8. Matriz Simétrica

Dizemos que uma matriz é simétrica quando $A= A^{T}$ . Exemplo: $$ A= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 3 \\ -3 & 0 \\ \end{array} \right]$$ é uma matriz simétrica.

9. Matriz Oposta

A matriz $- A$ , onde todas as entradas da matriz $A$ são multiplicadas por $- 1$ , é chamada de matriz oposta de $A$ . Por exemplo, $\left( \begin{array}{cccc} -1 & 2 & -3 \\ 0 & -4 & -2 \end{array} \right)$ é a matriz oposta da matriz $A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \end{array} \right)$ .

10. Matriz Inversa

Uma matriz $A$ , quadrada de ordem $n$ , diz-se inversível se, e somente se, existir uma matriz $B$ , quadrada de ordem $n$ , tal que: $$A \times B=B \times A=I_n .$$ A matriz $B$ é denominada inversa de $A$ e é indicada por $A^{-1}$ .

Por exemplo a matriz $$B = \left[ \begin{array}{cc} 4 & -3\\ -1 & 1\\ \end{array} \right]$$ é a inversa da matriz $$A = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 3\\ 1 & 4\\ \end{array} \right]$$.

Estes são os 10 Principais Tipos de Matrizes na Matemática