Equações e Inequações do 1º Grau: Conjunto Universo e Verdade, Quantificadores, Sistemas

Descubra as técnicas de resolução de equações e inequações de 1º grau, incluindo conjuntos-verdade, quantificadores, números irracionais e propriedades do conjunto dos números reais. Aprenda a resolver sistemas de equações simultâneas e entenda os conceitos fundamentais de matemática para alunos e professores.

A) Conjunto Universo e Conjunto Verdade

Em Português, consideramos as sentenças, como sendo expressões de pensamento que têm sentido completo. Na matemática utilizamos as expressões e sentenças numéricas.

Por exemplo:

• sentença: “A Lua é o satélite natural da Terra”.
• sentença numérica: x + 2 = 6.

Algumas definições:

• Variável: Na sentença numérica acima, x recebe o nome de variável.
• Sentença Algébrica: É toda sentença numérica que contém pelo menos uma variável. Por exemplo: x > 4, 2x = 4, x^3 = 27.
• Conjunto Universo: Este conjunto será simbolizado por U; é o conjunto que contém todos elementos com os quais iremos trabalhar. U contém todos os valores que a variável pode assumir. Por exemplo: O dia “x”, é o dia da semana que começa por S. $$U = \{ \text{domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado} \}.$$ Portanto x poderá assumir os valores: segunda, sexta ou sábado.

• Conjunto Verdade: O conjunto verdade será formado no nosso exemplo pelos dias: segunda, sexta e sábado.

Para as equações e inequações, procedemos da mesma forma: escolhemos um Conjunto-Universo e dele extraímos o conjunto-verdade.

Resolução de Equações de primeiro grau a uma variável:

• Equações: São sentenças, que exprimem a igualdade entre duas expressões numéricas. Por exemplo: x = -1; y + 3x = 20. Equações são equivalentes, num mesmo Conjunto-Universo, quando têm os mesmos conjuntos-verdade. Portanto resolver uma equação é determinar o seu conjunto-verdade.

Técnicas para a resolução:

1 — Desfazer a adição: usaremos a subtração que é a operação inversa da adição.

Por exemplo:  x + 5 = 4  \Rightarrow x = 4 - 5 \Rightarrow x = -1 .

Observação: 5 positivo no primeiro membro, passa para o segundo e torna-se negativo.

2 — Desfazer a subtração: usaremos a adição que é a operação inversa da subtração.

Por exemplo: x - 5 = 2 \Rightarrow x = 5 + 2 \Rightarrow x = 7 .

3 — Desfazer a multiplicação: Utiliza-se a divisão, operação inversa da multiplicação.

Por exemplo: \dfrac{2x}{3} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow x = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = \dfrac{6}{5} .

4 — Desfazendo a divisão: Utiliza-se a multiplicação que é a operação inversa da divisão.

Por exemplo: x \div (-2,5) = 8 \Rightarrow x = 8 \cdot (-2,5)\Rightarrow x = -20

5 — Usando a propriedade distributiva da multiplicação:

3x + 2x = 15\Rightarrow (3 + 2)x = 15 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{5} \Rightarrow x = 3 .

Daí se conclui a propriedade aditiva da igualdade: Se a = b então a + c = b + c, qualquer que seja c e a - c = b - c, qualquer que seja c.

Regra Prática geral para resolver equações de primeiro grau:

Para resolver uma equação de primeiro grau com uma variável:

1. eliminam-se os parenteses;
2. eliminam-se os denominadores;
3. separam-se os termos, deixando num dos membros os termos que contêm a variável e somente eles (isso se chama isolar as variáveis).
4. Reduzem-se os termos a um só, em cada membro
5. dividem-se (caso ainda não se tenha obtido uma equação elementar) ambos os membros pelo coeficiente da variável, se tal coeficiente não for 0, obtendo-se assim uma equação elementar equivalente, de resolução imediata.

Por exemplo: $$ 3x + 2(x – 1) + 4 = 5x – 4(x + 2)$$ $$ 3x + 2x – 2 + 4 = 5x – 4x – 8 $$ $$3x +2x +2 = x – 8$$ $$ 5x+2-x+8 = 0$$ $$ 4x = -10 $$ $$x = – \frac{10}{4} = – \frac{5}{2}.$$

Resolução de Inequações de primeiro grau a uma variável:

• Inequações: damos o nome de inequações às sentenças algébricas que exprimem a relação “<“, “>” (menor que, maior que) entre duas expressões numéricas. Por exemplo: 3x > 3y, x < 6. Duas inequações são equivalentes, num mesmo Conjunto-Universo, quando têm o mesmo conjunto-verdade ou conjunto-solução.

Às técnicas de resolução para as inequações são as mesmas que para as equações, salvo pequenas restrições:

1. Se o número pelo qual são multiplicados os dois membros da inequação for < -1, a inequação dada transforma-se em uma equivalente onde os termos aparecem todos com o sinal trocado desde que seja também trocado o sinal da desigualdade.

Por exemplo: 3x - 1 < \dfrac{5}{2} + x multiplicando membro a membro por -1: -3x + 1 > -\dfrac{5}{2} - x

2. Trocando o primeiro membro com o segundo membro, obtém-se uma inequação equivalente, somente se for trocado também o sinal da desigualdade. Por exemplo: x - 1 > 9 \text{ e } 9 < x - 1 .

Portanto regra prática geral das equações vista neste capítulo é válida para as inequações salvo uma única diferença: no fim ao dividir os dois membros da inequação pelo coeficiente (diferente de zero) da variável, se esse coeficiente for negativo, então troca-se o sinal da desigualdade. Por exemplo: $$ 4x – 7 < 9x + 1 $$ $$ 4x – 9x < 1 + 7 $$ $$ -5x < 8 $$ $$ x > \frac{-8}{5} . $$

B) Quantificadores

• B1 — O quantificador universal será representado por este símbolo \forall , que deve ser lido: “qualquer”, ou “qualquer que seja” ou ainda “para todo”. Por exemplo: \forall x , lê-se: “qualquer que seja x” ou “para todo x”.

Utiliza-se o quantificador universal quando o conjunto-verdade ou solução coincidir com o conjunto-universo e dizemos que a equação é um identidade e não conjunto-universo limitado. Por exemplo: $$ 3x + 5 = 3. (x + 2) – 1. $$ Resolvendo temos: $$3x + 5 = 3x + 6 – 1$$ $$3x – 3x = 5 + 6 – 1$$ $$0x = 0$$. Portanto,  \forall x, 3x + 5 = 3 (x+2)-1.

• B2 – O quantificador existencial é representado pelo símbolo \exists, e significa existe. Desta forma, $$ \exists x | \text{ ou } \exists x ; \text{ lê-se “existe x, tal que” }; $$ $$ \not\exists \; x \text{ lê-se “não existe x”}.$$  Por exemplo, \exists x ; x + 4 = 1, U = \mathbb{N} lê-se: existe x, tal que x + 4 = 1, e o conjunto universo é igual ao conjunto dos Naturais.

C) SISTEMAS

C1 – Resolução de problemas de primeiro (1.º) grau a uma variável envolvendo equações.

A resolução, por meio de equações, que é chamada resolução algébrica, é constituída por três fases:

1. Escrever a equação do problema.
2. Resolver a equação achada.
3. Interpretar a solução da equação.

A primeira fase é interpretar o enunciado do problema, denominar a variável, com um número literal qualquer: x, y, ..., e seguir, fixando a atenção nos termos matemáticos, isto é, traduzir esse enunciado em sentenças numéricas.

Exemplo

Por exemplo: qual é o número que, adicionado à seu triplo, dá por soma 72? Vamos considerar x como nossa variável (número): x + 3x = 72. Esta fase da resolução é a mais difícil, pois requer uma certa habilidade com exercícios e não segue uma regra geral.

A segunda fase, já é mais fácil pois a resolução de uma equação já é por nós conhecida. A terceiraa fase da interpretação da solução da equação, que consiste em verificar se a resolução da equação satisfaz também as condições colocadas no problema. Raiz é o valor da variável.

Outro problema resolvido

Dividir 390,00 entre dois meninos, de tal modo que o primeiro receba o dobro do segundo, menos 60,00.

Solução: 

• Parte do segundo: x
• Parte do primeiro: 2x-60

Então: $$ x + (2x-60) = 390$$ $$ 3x = 450 $$ $$ x = 150. $$

Resposta:

• Parte do segundo: 150,00
• Parte do primeiro:  2 \cdot 150 - 60 = 240,00

C2 – Resolução de inequações do 1.º grau a uma variável

Técnicas de resolução:

1.º) Sentido de uma inequação: é dado pelo sinal que exprime a desigualdade.

1. x > 4 e y < 2 (sentidos opostos)
2. x > 4 e x > 1 (mesmo sentido)

2.º) Não muda de sentido: uma inequação não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos a ambos os membros o mesmo número ou a mesma expressão. Exemplo: 4 < 6 \Rightarrow 5 + 4 < 5 +6 o que nos leva a 9 < 11.

3.º) Não muda de sentido uma inequação quando multiplicamos os membros por um número positivo. Exemplo: 5 < 7 \Rightarrow \dfrac{1}{5} \cdot 5 < \dfrac{1}{5} \cdot 7 o que nos leva a 1 < \dfrac{7}{5}.

4.º) Muda de sentido uma inequação se multiplicarmos ambos os membros por um número negativo. Exemplo: $$ x – 4 > 1 $$ $$-x + 4 < -1$$ $$-x < -5 \text{  (Multiplicando por -1)}$$  $$ x > -5$$

Exercício resolvido:

3x + 3 < 4x + 8

3x - 4x < 8 - 3

-x < 5

x > -5 (Multiplicando por -1)

C3 – Sentença Aberta com duas variáveis:

Quando a sentença apresentar dois elementos desconhecidos. Por exemplo: Em x + y = 26, x e y são valores desconhecidos no conjunto-universo.

C4 – Equações simultâneas:

Quando duas ou mais equações formem verdadeiras (verificadas), para os mesmos valores das variáveis, a mesma tempos, diremos que são equações simultâneas. O sistema formado por este tipo de equações, recebe o nome de sistema equações simultâneas. Por exemplo: $$ \left\{ \begin{array}{lll} x – y & = & 2 \\ 2x – y & =  &1 \end{array} \right.$$

Para resolvermos este sistema, teremos que determinar o conjunto dos pares ordenados (x, y) do seu Conjunto Universo, para os quais ambas as equações sejam simultaneamente verdadeiras. No exemplo acima por-se-identificar que um par ordenado que torne verdadeira a 1.ª equação pode não tornar verdadeira a segunda e vice-versa. Por exemplo: para o par: (5, 3):

$$ \left\{ \begin{align} 2 \cdot 5 – 3 &= 2 \quad (\text{V}) \\ 2 \cdot 5 – 3 &= 1 \quad (\text{F}) \end{align} \right.$$ ou para o par: (1, 1) $$ \left\{ \begin{align}
2 \cdot 1 – 1 &= 1 \quad (\text{V}) \\ 2 \cdot 1 – 1 &= 2 \quad (\text{F}) \end{align} \right. $$  onde (F) = falso, (V) = verdadeira.

O conjunto solução será:

S_1 \rightarrow \text{para a 1.ª equação}
S_2 \rightarrow \text{para a 2.ª equação}

e o conjunto solução do sistema será: S = S_1 \cap S_2

Forma geral do sistema de equações simultâneas de 1.º grau com duas variáveis

$$ \left\{ \begin{align} a’x + b’y &= c’ \\ ax + by &= c \end{align} \right. $$ onde: a, b, a', b' são constantes ou coeficientes das variáveis; e, onde x e y são variáveis.

Técnicas para a resolução:

1.º) Para um sistema da forma geral, tipo: $$ \left\{ \begin{align} x + y &= 7 \\ x – y &= 3 \end{align} \right. $$ Adicionamos membro a membro as duas equações e a variável y é momentaneamente eliminada por apresentar os mesmos coeficientes: $$ \begin{align} x + y &= 7 \\ + \\   x – y &= 3 , \quad \text{então } 2x = 10 \end{align} $$ Logo 2x = 10 o que nos leva a x = 5 Substituindo na primeira equação 5 + y = 7 \Rightarrow y = 2 .

2.º) Para um sistema da forma geral tipo: $$ \left\{ \begin{align} 2x + 3y &= 14 \\ 5x – 7y &= 6 \end{align} \right. $$

Como nenhuma das variáveis pode ser eliminada diretamente, por não apresentar coeficientes simétricos, nem mesmo com a troca de sinais dos termos, de uma das equações, então, escolhemos qualquer uma das equações, e determinamos o valor de uma das variáveis (em dependência de outra variável).

$$ \left\{ \begin{align}
2x + 3y &= 14 \\
2x = 14 – 3y \\
x = \frac{14 – 3y}{2}
\end{align} \right. $$

Feito isso, substitui-se o valor de x (dependente de y) na outra equação, resolvendo-a em seguida:
$$ \left\{ \begin{align}
5x – 7y &= 6 \\
5 \left(\frac{14 – 3y}{2}\right) – 7y &= 6 \\
\frac{70 – 15y – 14y}{2} &= 6 \\
70 – 29y &= 12 \\
29y &= 58 \\
y = 2
\end{align} \right. $$

Cálculo de x: $$ x = \frac{14 – 3y}{2} = \frac{14 – 6}{2} = 4. $$

3.º) Discussão de sistema:

O sistema
$$ \left\{ \begin{align}
ax + by &= c \\
a’x + b’y &= c’
\end{align} \right. $$
admite uma solução, se
\dfrac{a}{a'} \neq \dfrac{b}{b'}
é impossível quando:
\dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} \neq \dfrac{c}{c'}
é indeterminado quando:
\dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'}

Por exemplo: Determinar m de modo que tenha uma única solução: $$ \left\{ \begin{align} mx + 6y &= 5 \\ 2x + 3y &= 7 \end{align} \right. $$

Resolução: \dfrac{m}{2} \neq \dfrac{6}{3} \Rightarrow 3m \neq 12\Rightarrow m \neq 4. 

Exemplo de problema resolvido:

A soma de dois números é 14 e a diferença entre eles é 2. Quais são esses números?

Chamemos de x e y, os números procurados: $$ \left\{ \begin{align} x + y &= 14 \\ x – y &= 2 \end{align} \right. $$  Vem que: $$ \begin{align}x + y &= 14 \\+ ( x – y &= 2 ) \end{align} $$ Ou seja $$2x = 16 \Rightarrow x = 8 \text{ e } y = 6 $$
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