Equação da Onda Unidimensional | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Neste artigo queremos apresentar uma lista de exercícios resolvidos sobra a equação da onda unidimensional , que se aplica às pequenas vibrações transversais de uma corda flexível, fixa nas extremidades, tensa, tal como a corda de uma guitarra, ou um violino. Supõe-se que não haja forças externas atuando sobre a corda e que esta vibre somente em função de sua elasticidade.

As vibrações de uma corda elástica são governadas pelo PVIC: $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}; $$ $$u(0,t) = 0; \qquad  u(l,t) = 0, \forall t;$$ $$u(x,0) = f(x); \qquad \frac{\partial u}{\partial t} (x,0) = g(x) $$

A função u(x,t) é o deslocamento de um ponto arbitrário x da corda no instante t . A constante c^2 = \dfrac{ \tau}{\mu} ; onde \tau é a tensão (constante) da corda e \mu é a massa (constante) por unidade de comprimento da corda.

A solução é dada por $$u(x,t) = \sum _{n=0}^{\infty}{\left[ B_n C_n \cos{q_n t} \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}+ B_n D_n \sin{q_nt}\sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)} \right]} $$ onde $$B_n C_n = \frac{2}{l} \int \limits _{0}^{l}{f(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx}$$ $$q B_n D_n = \frac{2}{l} \int \limits _{0}^{l}{g(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx} \Leftrightarrow $$ $$ \Leftrightarrow B_n D_n = \frac{2}{c n \pi} \int \limits _{0}^{l}{g(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx}$$

Equação da Onda Unidimensional – 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

1. Vamos encontrar a solução da equação da onda $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ correspondente a uma inflexão triangular inicial dada por $$f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} \frac{2k}{l}x & quando& 0<x<\frac{l}{2} \\ \frac{2k}{l}(l-x) & quando & \frac{l}{2} < x < l \end{array} \right.$$ e velocidade inicial igual a zero.

Nosso problema consiste em solucionar a equação $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},$$ com as condições $$u(0,t) = 0, u(l,t) = 0, u(x,0) = f(x)\;\;\; e \frac{\partial u}{\partial t} \left|_{t=0} \right. = g(x)=0. $$

Já sabemos que $$u(x,y) = \sum \limits_{n=0}^{\infty}{\left[ B_n C_n \cos{q_n t} \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}+ B_n D_n \sin{q_nt}\sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)} \right]}$$ com $$B_n C_n = \frac{2}{l} \int \limits _{0}^{l}{f(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx}$$ e $$B_n D_n = \frac{2}{c n \pi} \int \limits _{0}^{l}{g(x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx}.$$

Como g \equiv 0, temos que $$B_n D_n = \frac{2}{c n \pi} \int \limits _{0}^{l}{0 \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx} = 0,$$ consequentemente,
$$ u(x,y) = \sum \limits_{n=0}^{\infty}{\left[ B_n C_n \cos{q_n t} \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}\right]}$$
$$ = \sum \limits_{n=0}^{\infty}{\left[ B_n C_n \cos{\left( \frac{c n \pi}{l} t \right)} \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}\right]}.$$

Vamos determinar o coeficiente B_n C_n:

$$B_n C_n = \frac{2}{l} \left[ \int \limits _{0}^{l/2}{ \frac{2k}{l}x \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx} + \int \limits _{l/2}^{l}{ \frac{2k}{l}(l-x) \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx } \right]$$

$$ =\frac{4k}{l^2} \left[ \int \limits _{0}^{l/2}{ x \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx} + l \int \limits _{l/2}^{l}{ \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx} – \int \limits _{l/2}^{l}{x \sin{\frac{n \pi x}{l}}dx}\right]$$

$$ = \frac{4k}{l^2} \left[ \frac{l^2}{n^2 \pi ^2} \left(\sin{\frac{n \pi}{2}} – 1\right) -\frac{l^2}{n^2 \pi ^2} \cos{(n \pi)} + \frac{l^2}{n^2 \pi ^2} \left(\cos{(n\pi)}+ \sin{\frac{n \pi}{2}} \right) \right]$$

$$ = \frac{4k}{l^2} \left[ \sin{\left(\frac{n \pi}{2}\right)}(1+n\pi) – 1 \right]$$

Portanto, nossa solução é dada por $$u(x,t) = \sum \limits_{n=0}^{\infty}{\left[ \frac{4k}{l^2} \left[ \sin{\left(\frac{n \pi}{2}\right)}(1+n\pi) – 1 \right] \cos{\left( \frac{c n \pi}{l} \right) t} \sin{\left( \frac{n \pi}{l} x \right)}\right]}$$

2) Considere uma corda vibrante de tamanho L=30 que satisfaz a equação diferencial $$4\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\;\;\;0< x <30\;\;\; ,t>0$$, com condições de contorno iguais a u(0,t) = 0 e u(30,t) = 0 para todo t e e condições iniciais dadas por
$$u(x,0) = f(x)= \left\{\begin{array}{rl}
x/10; & 0 \leq x \leq 10\\
\\
(30 – x)/20; & 10 \leq x \leq 30 \\
\\
\end{array}\right.$$ e $$\frac{\partial u}{\partial t} \left|_{t=0} = 0\right. . $$ Encontre a solução da equação das vibrações da corda elástica que satisfaça as condições de contorno e iniciais por meio de séries de Fourier.

SOLUÇÃO: 

Pela solução geral da equação da onda obtida neste artigo, usando c= 2 e L = 30 , isto é,  $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{c_n sen\left(\frac{n \pi x}{30} \right) cosn\left(\frac{2n \pi t}{30} \right)},$$ onde c_n é calculado usando o coeficiente da série de Fourier de senos, ou seja, $$ c_n = \frac{1}{15}\int\limits_{0}^{10}{\frac{x}{10}sen\left(\frac{n \pi x}{30} \right)dx} + \frac{1}{15}\int\limits_{0}^{10}{\frac{30-x}{20}sen\left(\frac{n \pi x}{30} \right)dx}.$$ Calculando as integrais encontramos $$ c_n = \frac{9}{n^2 \pi ^2} sen\left(\frac{n \pi }{3} \right).$$ Portanto, $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{9}{n^2 \pi ^2} sen\left(\frac{n \pi }{3} \right) sen\left(\frac{n \pi x}{30} \right) cos\left(\frac{2n \pi t}{30} \right)}.$$

3) Encontre a solução da equação da onda $$\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ correspondente a uma inflexão triangular inicial dada por
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}
x & quando& 0<x<\frac{\pi}{2}
\\
\pi-x& quando & \frac{\pi}{2} < x < \pi
\end{array}
\right.$$
e velocidade inicial igual a zero.

SOLUÇÃO:

Pela solução geral da equação da onda obtida neste artigo, usando L = \pi , isto é,  $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_n sen\left(\frac{n \pi x}{ \pi} \right) cos\left(\frac{c n \pi t}{\pi} \right)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{b_n sen\left(n x\right) cos\left(c n t \right)},$$ onde b_n é calculado usando o coeficiente da série de Fourier de senos, ou seja, $$ b_n = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi /2}{x sen\left( n x \right)dx} + \frac{2}{\pi}\int\limits_{\pi /2}^{\pi}{(\pi – x)sen\left(n  x\right)dx} = $$ $$ = \frac{2 sen \left( \frac{\pi n}{2}\right) -\pi n  cos\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2} – \frac{2 sen\left( \frac{\pi n}{2}\right) -\pi n cos\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2} = \frac{4 sen\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2}.$$ Portanto, $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{4 sen\left( \frac{\pi n}{2}\right) }{\pi n^2} sen\left(\frac{n \pi x}{ \pi} \right) cos\left(\frac{c n \pi t}{\pi} \right)}.$$

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