EDO’s Lineares de 2ª Ordem sem o termo y(t) | Método de Solução

Nesse artigo queremos apresentar um método de solução para EDO’s Lineares de 2ª Ordem sem o termo y(t) . Ou seja, queremos resolver equações na forma  y'' +b(t)y'= f(t).

Claro que as técnicas de solução de EDOs lineares de 2ª Ordem podem ser aplicadas neste caso, como o Método dos Coeficientes Indeterminados ou o Método da Variação dos Parâmetros para determinar a solução particular que será somada à solução da equação homogênea associada para formarmos a solução geral deste tipo de EDO.

Transformando uma EDO de 2ª Ordem numa EDO de 1ª Ordem: Equações sem o termo y(t)

Dada uma equação na forma y'' + p(t)y'=f(t), fazemos x(t) = y'(t). Daí, nossa equação de reduz a x' + p(t)x=f(t), ou seja, temos uma EDO de primeira ordem que já temos técnicas para solucionar.

EXEMPLO: Encontre a solução da EDO t^2y''+2ty'-1 = 0.

Faça u(t) = y'(t).

Daí, t^2y''+2ty'-1 = t^2 u' + 2t u -1 = 0 \Rightarrow u' + \dfrac{2}{t} u = 1, uma EDO de primeira ordem que tem solução dada por u(t) = \dfrac{t+c_1}{t^2}.

Ou seja, y(t) = \int{\dfrac{t+c_1}{t^2}}dt = \ln{t} - c_1 t^{-1} + c_2.

Equações de Euler-CauchyMétodo da Variação dos Parâmetros

Exercícios Resolvidos – EDO’s Lineares de 2ª Ordem sem o termo y(t)

1) Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem:

a) y'' - 3\tg{(x)}y' = 0

SOLUÇÃO: Observe que neste caso não temos o termo c(x)y(x) , desta forma, podemos fazer a substituição u = y' , o que nos leva à EDO linear de primeira ordem $$u’ -3 tg(x) u = 0 ,$$ que tem solução dada por $$u(x) = c_1 sec^3 (x).$$

Portanto, $$y(x) = \int{c_1 sec^3 (x) dx} = c_1 \left[ \frac{1}{4} \ln{\left( \frac{sen(x) +1 }{sen(x) – 1 } \right)} + \frac{1}{2} tg(x)sec(x) \right] + c_2 .$$

b) y'' - 2 y' = e^x sen(x)

SOLUÇÃO: método de solução OUTROS MÉTODOS DE SOLUÇÃO: Método dos Coeficientes IndeterminadosMétodo da Variação dos Parâmetros

c) y'' + 3y' = 4x - 5;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' + 3y' =0 e sua solução é dada por $$y_{h}{x} = c_1 + c_2 e^{-3x}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(x) = Ax^2 + Bx , pois a equação não possui o termo c y e substituindo na EDO encontramos: A = 1/3 e  B = - 5/3 . Logo y_{p}(x) = \frac{1}{3} x^2 - \frac{5}{3} x . Portanto, a solução geral desta equação será dada pop $$ y(x) = c_1 + c_2 e^{-3x}+ \frac{1}{3} x^2 – \frac{5}{3} x.$$

OBSERVAÇÃO:

d) y'' + 8y' = e^{5x} ;

SOLUÇÃO: A equação homogênea associada é dada por y'' + 8y'=0 e sua solução é dada por $$y_{h}{x} = c_1 + c_2 e^{-8x}.$$ A solução particular será na forma y_{p}(x) = Ae^{5x} e substituindo na EDO encontramos: A = 1/30. Logo y_{p}(x) = \dfrac{1}{30} e^{5x}. Portanto, a solução geral desta equação será dada por $$ y(x) = c_1 + c_2 e^{-8x} + \frac{1}{30} e^{5x}.$$

OBSERVAÇÃO:

Um Exemplo de uma Equação Diferencial de 3ª Ordem.

Usando o método da Variação dos Parâmetros encontre uma solução para a E.D.O. de 3ª ordem $$y^{(3)} + y’ = cosec(x).$$

SOLUÇÃO: 

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