EDO’s Homogêneas de 1ª Ordem | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Uma equação diferencial na forma $$M(x,y)dx + N(x,y) dy =0$$ é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau. De acordo com esta definição, uma equação na forma M(x,y)dx + N(x,y) dy =0 é homogênea se $$ M(tx,ty) = t^n M(x,y) \qquad e \qquad N(tx,ty) = t^n N(x,y).$$ Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica.

Especificamente, a substituição y = u x ou x = v y , em que u e v são as novas variáveis independentes, e elas serão transformadas em EDOs separáveis, onde $$dy = u dx + x du$$ no primeiro caso e $$ dx = v dy + y dv, $$ no segundo caso. Ou seja, equações homogêneas são aquelas que podem ser escritas em termos da razão \dfrac{y}{x} e com isso se tornam equações separáveis.

Exercícios Resolvidos Sobre EDO’s Homogêneas de Primeira Ordem

1) Resolva as EDOs de 1ª ordem homogêneas abaixo:

a) (x^2 + y^2)dx + (x^2 - xy) dy =0

SOLUÇÃO: 

b) 2x^3 ydx + (x^4 + y^4) dy =0

SOLUÇÃO: 

c) y( \ln{x} - \ln{y})dx = (x \ln{x} - x \ln{y} - y)dy

SOLUÇÃO: 2) Resolva os PVIs abaixo:

a) x \dfrac{dy}{dx} = y + xe^{y/x}, \qquad y(1) = 1

SOLUÇÃO: 

b) xyy' = 3y^2 +x^2 sujeito a y(-1) = 2.

SOLUÇÃO: 

c) xy^2 \dfrac{dy}{dx} = y^3 - x^3 ; com y(1) = 3;

SOLUÇÃO: Esta é uma equação homogênea que pode ser reescrita como $$ \frac{y^2}{x^2} \frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{x^3} – 1$$ ao dividi-la por x^3 . Fazendo y = u x encontramos a equação separável $$u^2 du = – \frac{1}{x} dx $$ o que nos leva a $$u^3 = – 3 \ln{|x|} +c ,$$ ou seja, a solução implícita geral da equação é dada por $$y^3 = -3x^3 \ln{|x|} +c x^3.$$ Como y(1) = 3, então $$ 3^3 = – 3 (1)^3 \ln|1| + c (1)^3 \Rightarrow c = 27.$$ Portanto, a solução particular implícita deste P.V.I. é dada por $$y^3 = -3x^3 \ln{|x|} +27 x^3.$$

 d) \left( x^2 + 2y^2 \right)dx = xydy; com y(-1) = 1;

SOLUÇÃO: Dividindo a equação por x^2 encontramos a equação homogênea $$\left( 1 + 2 \frac{y^2}{x^2} \right) = \frac{y}{x} \frac{dy}{dx}$$ que com a substituição y = u x nos leva à solução $$u^2 = \ln\left( \frac{1}{x^2} \right) + k $$ ou seja, a solução geral implícita é dada por $$y^2 = x^2 \ln\left( \frac{1}{x^2} \right) + kx^2. $$ Como y(-1) = 1, encontramos, substituindo na solução implícita, k = 1 . Portanto a solução particular implícita deste P.V.I. será dada por $$y^2 = x^2 \ln\left( \frac{1}{x^2} \right) + x^2. $$

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