EDO de 1ª Ordem: Teorema de Existência e Unicidade de Solução

Nesse artigo, queremos desenvolver conceitos básicos e teóricos e das equações diferenciais de primeira ordem, principalmente o Teorema de Existência de Unicidade de Soluções. Em geral, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é representada por $\dfrac{dy}{dt}= f\left(t,y \right)$ onde $f$ é uma função nas variáveis $t$ e $y$ . Nosso problema consiste em: Dada $f\left(t,y \right)$ , encontre funções $y(t)$ que satisfaçam essa equação.

O que garante a existência de tais soluções é o teorema da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais de primeira ordem, que sob certas condições asseguram a existência de um intervalo que tal solução está definida.

Problema de Valor Inicial

Queremos resolver uma equação diferencial de primeira ordem $\dfrac{dy}{dt}= f\left(t,y \right),$ onde $f$ é uma função nas variáveis $t$ e $y$ , sujeita à condição inicial $y(t_0) = y_0$ em que $t_0$ é um número no intervalo I e $y_0$ é um número real arbitrário.

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Esse problema é chamado de Problema de Valor Inicial.

Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferencial, definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto $(x_0 , y_0)$ determinado à priori.

Em cada ponto do plano (t, y) temos um solução da EDO. Em cada trajetória temos uma solução de um P.V.I.

Teorema da Existência e Unicidade de Solução

Em geral, deseja-se saber,a ntes de considerar um problema de valor inicial, se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema.

O teorema abaixo, devido a Charles Émile Picard, nos dá condições suficientes para garantir existência e unicidade de soluções.

TEOREMA

Seja R uma região retangular no plano ty definida por $a\leq t \leq b, \;\;\; c \leq y \leq d$ , que contém o ponto $(t_0, y_0)$ em seu interior. Se $f(t ,y)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em $t_0$ e uma única função y(t) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial $\dfrac{dy}{dt}= f\left(t,y \right)\;\;\; y(t_0) = y_0$

O resultado anterior é um dos mais populares teoremas de existência e unicidade para equações de primeira ordem, porque os critérios de continuidade de $f(t, y)$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ são relativamente fáceis de ser verificados.

OBSERVAÇÕES:

A garantia de existência não significa conseguir exibir a solução do P.V.I., uma solução pode existir e não ser possível expressá-la por funções elementares, apenas por métodos numéricos.
As condições do Teorema de Existência e Unicidade são suficientes, mas não necessárias.