EDO de 1ª Ordem: Teorema de Existência e Unicidade de Solução

Nesse artigo, queremos desenvolver conceitos básicos e teóricos e das equações diferenciais de primeira ordem, principalmente o Teorema de Existência de Unicidade de Soluções. Em geral, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é representada por  \dfrac{dy}{dt}= f\left(t,y \right) onde f é uma função nas variáveis t e y. Nosso problema consiste em: Dada f\left(t,y \right), encontre funções y(t) que satisfaçam essa equação.

O que garante a existência de tais soluções é o teorema da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais de primeira ordem, que sob certas condições asseguram a existência de um intervalo que tal solução está definida.

Problema de Valor Inicial

Queremos resolver uma equação diferencial de primeira ordem  \dfrac{dy}{dt}= f\left(t,y \right), onde f é uma função nas variáveis t e y, sujeita à condição inicial y(t_0) = y_0 em que t_0 é um número no intervalo I e y_0 é um número real arbitrário.

Esse problema é chamado de Problema de Valor Inicial.

Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação diferencial, definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto (x_0 , y_0) determinado à priori.

Teorema da Existência e Unicidade de Solução

Em geral, deseja-se saber,a ntes de considerar um problema de valor inicial, se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema.

O teorema abaixo, devido a Charles Émile Picard, nos dá condições suficientes para garantir existência e unicidade de soluções.

TEOREMA

Seja R uma região retangular no plano ty definida por a\leq t \leq b, \;\;\; c \leq y \leq d , que contém o ponto (t_0, y_0) em seu interior. Se f(t ,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y} são contínuas em R, então existe um intervalo I centrado em t_0 e uma única função y(t) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial \dfrac{dy}{dt}= f\left(t,y \right)\;\;\; y(t_0) = y_0

O resultado anterior é um dos mais populares teoremas de existência e unicidade para equações de primeira ordem, porque os critérios de continuidade de f(t, y) e \dfrac{\partial f}{\partial y} são relativamente fáceis de ser verificados.

OBSERVAÇÕES:

1. A garantia de existência não significa conseguir exibir a solução do P.V.I., uma solução pode existir e não ser possível expressá-la por funções elementares, apenas por métodos numéricos.
2. As condições do Teorema de Existência e Unicidade são suficientes, mas não necessárias.

Plano de Fase

Plano de Fase ou Campo de Direções é uma ferramenta valiosa no estudo das soluções de equações diferenciais que consiste em um plano cartesiano onde são traçadas as trajetórias das soluções de uma equação ordinária que se inicia em algum ponto.

Estas trajetórias são obtidas através do campo vetorial gerado pelos vetores tangentes a cada ponto da trajetória. Esta ferramenta se mostra muito eficaz pelo simples fato de não necessitar da solução da EDO para esboçá-lo, fazendo deste artifício uma das bases para o estudo das EDO’s não-lineares.

Um exemplo simples é o plano de fase da EDO ty'-y=t^2, onde esboçamos algumas trajetórias que representam algumas soluções desta equação diferencial.

EXEMPLOS DE PLANOS DE FASE DE EDO’S DE 1ª ORDEM

$$ \frac{dy}{dt}=t\cos t^2$$

$$\frac{dy}{dt}=\frac{t^2}{y^2}$$

$$\frac{dy}{dt}=\frac{t^2}{1-y^2}$$

$$\frac{dy}{dt}=\frac{3t^2+4t+2}{2(y-1)}$$

$$t \frac{dy}{dt} + 2y = 4t^2$$

$$\left( y\cos{x}+2xe^y\right) + \left( \sin{x} + x^2e^y-1 \right)y’=0$$

$$\left( 3xy + y^2 \right)+ \left(x^2 + xy\right)y’=0$$

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