E.D.O.’s Por Séries de Potência | Solução em Torno de Pontos Ordinários

Neste artigo quero aprofundar um pouco mais na técnica de solução das equações diferenciais ordinárias (E.D.O.) de 2ª ordem homogêneas através de séries de potências em torno de um ponto ordinário, enunciando o Teorema da Existência de Soluções para este tipo de abordagem além de mais alguns aspectos técnicos.

No artigo anterior, onde apresentamos as Séries de Potências e demos uma noção intuitiva da técnica para usa-las nas soluções de equações diferenciais ordinárias – e que você lê seguindo este link.

Esta abordagem é muito indicada em com os casos em que os coeficientes da equação diferencial ordinária, principalmente de ordem igual a 2, são polinomiais e que elas não se encaixam em Equações de Euler-Cauchy. Isso porque se os coeficientes da equação a_2 (x) y'' + a_1 (x)y'+a_0(x)y = 0 são polinômios sem fatores comuns, um ponto x = x_0 é: 1) um ponto ordinário se a_2 \left( x_0 \right) \neq 0 ; ou 2) um ponto singular se a_2 \left( x_0 \right) = 0 .

O Que é um Ponto Singular ou Não-Singular de uma Equação Diferencial?

Uma função real f(x) é chamada de analítica num ponto x=x_0 se ela pode ser representada por uma série de potências de (x-x_0) com raio de convergência \rho >0.

Desta forma, dizemos que um ponto x=x_0 é um ponto ordinário ou não-singular da equação diferencial $$ y” + p(x)y’+q(x)y = 0$$ se p(x) e q(x) são analíticas em x=x_0. Um ponto que não é ordinário é considerado como um ponto singular da equação.

Lembrando que uma função que possui infinitas derivadas contínuas é analítica e pode ser expandida em série de potências usando as séries de Taylor em torno de x=x_0, cujo a_n é dado por $$a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.$$

EXEMPLO 1: Todo ponto x é um ponto ordinário da equação $$ y” + \left( e^x \right) y’ + (sen(x))y = 0.$$ Em particular, x =0 é um ponto ordinário, pois $$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+…. $$ e $$
sen{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} = x- \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…. $$ convergem para todo valor de x .

EXEMPLO 2: A equação diferencial $$xy” + (sen(x))y = 0 $$ possui um ponto ordinária em x =0 , pois pode ser mostrado que q(x) = \dfrac{sen(x)}{x} tem o desenvolvimento em série de potências dado por $$ \frac{sen{x}}{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!}} = 1- \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-…. $$ que converge para todo valor de x .

EXEMPLO 3: O ponto x =0 é um ponto singular da equação $$ y” + (\ln{(x)})y = 0$$ porque $$q(x) = \ln{(x)}$$ não pode ser desenvolvida em série de potências centrada em x =0 .

OBSERVAÇÃO: Neste primeiro momento os pontos ordinários e singulares serão finitos, mas é importante observar que uma equação diferencial tenha, digamos, um ponto singular no infinto. Um exemplo disso esta na equação x^2 y'' - 4y = 0 que tem uma singularidade no infinito e será abordada em artigos futuros.

Teorema da Existência de Soluções em Série de Potências para Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem

O teorema sobre existência de soluções em série de potências sem demonstração, pois este não é o objetivo no momento, para este artigo.

Teorema da Existência de Soluções em Série de Potências

Se x=x_0 for um ponto ordinário da equação diferencial $$ y” + p(x)y’+q(x)y = 0$$ podemos sempre encontrar duas soluções linearmente independentes na forma de série de potências centrada em x_0: $$y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n \left( x-x_0 \right) ^n} \label{1}.$$ A série converge para uma solução em | x - x_0 | < \rho , em que \rho é a distância do ponto x_0 ao ponto singular mais próximo (real ou complexo).

Uma solução para uma equação  diferencial na forma dada em (1) é uma solução em torno do ponto ordinário x_0 , ou em uma vizinhança no ponto x_0 . A distância \rho dada no teorema é o valor mínimo do raio de convergência. Uma equação diferencial pode ter um ponto singular e ainda uma solução válida para todo x ; por exemplo, a equação diferencial pode ter como solução um polinômio.

EXEMPLO 4 (A Equação de Airy): Vamos solucionar a Equação de Airy $$ y” -xy=0.$$

Observe que se y'' -xy=0, então y''=xy. Considere uma solução $$y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n}.$$ Daí, $$y’ = \sum_{n=1}^{\infty}{n a_n x^{n-1}}\;\;\; e \;\;\; y” = \sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}}.$$ Substituindo estas derivadas na EDO obtemos $$\sum_{n=2}^{\infty}{n(n-1) a_n x^{n-2}} = x \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^{n+1}}.$$

Considerando n = s+2 na primeira série e n=s-1 na última série, encontramos: $$\sum_{s=0}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_{s+2} x^{s}} = \sum_{s=1}^{\infty}{a_{s-1} x^{s}}.$$ Agora para acertarmos o passo das séries devemos desenvolver o primeiro termo da primeira série: $$2 a_2 + \sum_{s=1}^{\infty}{(s+2)(s+1) a_s x^{s}} = \sum_{s=1}^{\infty}{a_{s-1} x^{s}}.$$

Fazendo a_2 = 0 para que a equação seja satisfeita, obtemos a seguinte regra de recorrência: $$(s+2)(s+1) a_{s+2} = a_{s-1}.$$ Observe que essa fórmula recorrência de recorrência evolui num passo de 3 em 3, com isso, o termo a_0 determinará os termos a_3,  a_6, a_9,..., e nos leva à fórmula $$a_{3n} = \frac{a_0}{2 \times 3 \times 5 \times 6 \times (3n-4)(3n-3)(3n-1)(3n)}.$$

Já o termo a_1 determinará os termos a_4,  a_7, a_{10},... e nos leva à fórmula $$a_{3n+1} = \frac{a_1}{3 \times 4 \times 6 \times 6 \times (3n-3)(3n-2)(3n)(3n+1)}.$$ Por fim, o termo a_2 determinará os termos a_5,  a_8, a_{11},..., que serão todos iguais a zero, pois fizemos a_2 = 0 .

Assim, a solução geral da EDO será dada por $$y = \sum_{n=0}^{\infty}{a_n x^n} = a_0 \left( 1+ \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{x^{3n}}{2 \times 3 \times 5 \times 6 \times (3n-4)(3n-3)(3n-1)(3n)} } \right) + $$ $$ + a_1 \left( 1+ \sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{x^{3n+1}}{3 \times 4 \times 6 \times 6 \times (3n-3)(3n-2)(3n)(3n+1)}} \right).$$

Livros-texto usados no artigo

1. “Equações Diferenciais: Volume 1” – Dennis G. Zill e Michael R. Cullen
2. Erwin Kreyszig – “Advanced Engineering Mathematics” | Link do Livro

Listas de Exercícios Resolvidos

• E.D.O.’s e as Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• E.D.O.’s e as Séries de Potências | 2ª Lista de Exercícios Resolvidos

Leia Mais:

• Solução de Equações Diferenciais Ordinárias por Séries de Potência
• O que são Séries de Potências? Definição, Convergência e Exemplos.
• Séries de Potências | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos
• Séries de Fourier | História, Definição e Condições de Convergência.