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De modo simplista, a divisão por zero não pode ser definida porque não há um número que, multiplicado por zero, resulte em um número diferente de zero.
Este artigo aborda a razão pela qual não podemos realizar divisões por zero. Em resumo, o zero não possui um inverso multiplicativo e qualquer tentativa de atribuir a um número real o papel de inverso multiplicativo de zero resultaria na contradição 0 = 1.
Esses conceitos podem ser um tanto confusos para algumas pessoas, por isso, estas notas podem ser valiosas para aqueles que têm dúvidas sobre o tema. Para compreender por que a operação de divisão por zero, como em 1/0, não é definida, é crucial ter uma compreensão sólida da origem da operação de divisão.
Mas vamos discutir um pouco mais esta ideia da divisão por zero, em parte inspirado pelo livro “Almanaque das Curiosidades Matemáticas”, de Ian Stewart.
Desvendando o mistério da divisão por zero empiricamente
A perplexidade diante da impossibilidade de dividir por zero permeia o vasto campo da matemática. Em termos simples, podemos dividir qualquer número por outro, exceto quando se trata da divisão por zero, uma operação que é proibida de maneira inquestionável. Até mesmo nossas calculadoras, robustas em sua lógica matemática, emitem mensagens de erro diante dessa tentativa aparentemente inocente. Mas por que o zero é considerado uma espécie de excluído nas operações de divisão?
Ao buscar respostas, mergulhamos no intrincado terreno da teoria matemática. A complexidade não reside apenas na impossibilidade abstrata de definir a divisão por zero. Poderíamos, por exemplo, sugerir que o resultado da divisão de qualquer número por zero é 42. No entanto, o desafio surge quando confrontamos essa definição aparentemente simples com as regras consagradas da aritmética.
Antes de nos aventurarmos nos domínios da divisão por zero, é imperativo concordar sobre as regras que essa operação seguirá. A divisão, essencialmente, é apresentada como o oposto da multiplicação. Se, ao dividirmos 6 por 2, procuramos o número cujo produto por 2 resulta em 6 (no caso, 3), então as premissas 6/2 = 3 e 6 = 2 × 3 se tornam logicamente equivalentes, conferindo singularidade ao resultado da divisão.
No entanto, a elegância dessa abordagem se desfaz quando nos deparamos com a divisão por zero. Ao questionarmos quanto é 6 dividido por 0, procuramos um número cujo produto por 0 resulte em 6. No entanto, qualquer número multiplicado por 0 é, invariavelmente, 0, tornando inalcançável o valor desejado e conduzindo à conclusão de que 6/0 é indefinido. Essa lógica se estende a qualquer número dividido por 0, exceto, talvez, o próprio 0. E quanto a 0/0?
Em situações normais, a divisão de um número por ele mesmo resulta em 1. Poderíamos ousar definir que 0/0 = 1, mas os matemáticos hesitam diante dessa proposta. A hesitação surge devido a outra regra da aritmética: suponhamos que 0/0 seja igual a 1, poderíamos então chegar a conclusões paradoxais. Se 0/0 fosse 1, então 2 seria igual a 0/0, originando uma contradição lógica.
E surge a indagação: quando dividimos por zero, o resultado não seria infinito? Alguns matemáticos, em certos contextos, adotam essa convenção. No entanto, é uma escolha que demanda uma análise meticulosa da lógica envolvida, visto que o conceito de “infinito” é sutil e não pode ser presumido como comportando-se como um número ordinário.
Mesmo quando contemplamos o infinito, a divisão por zero permanece como um enigma desafiador que incita reflexão aprofundada sobre suas implicações lógicas. No vasto universo matemático, onde as regras são o alicerce, a divisão por zero emerge como uma fronteira intrigante, convidando-nos a explorar os limites da razão matemática.
Por que não podemos dividir por zero?
A divisão é a operação inversa da multiplicação e, portanto, a divisão por zero não pode ser definida porque não há um número que, multiplicado por zero, resulte em um número diferente de zero.
Intuitivamente, espera-se que o inverso de um número muito pequeno seja muito grande e que o inverso de um número muito grande seja muito pequeno. No entanto, isso não é verdade quando se trata de zero. Quando se tenta encontrar o inverso de zero, o resultado é indefinido e não pode ser representado por um número real.
Agora, iremos discutir os axiomas da aritmética que suportam a ideia de que não é possível dividir por zero. Em resumo, tentaremos explicar com um pouco mais de rigor porque não é possível dividir por zero partindo destes axiomas.
1. Noções Básicas de Álgebra
A aritmética parte do pressuposto de que existem objetos chamados números reais. Assume-se que esses números reais podem ser manipulados por operações de adição e multiplicação que levam dois números reais a produzir um terceiro:
- Adição: Para quaisquer dois números reais a e b, existe um número real a+b.
- Multiplicação: Para quaisquer dois números reais a e b, existe um número real a b.
Essas operações de adição e multiplicação são assumidas para satisfazer certos axiomas, que incluem leis comutativas, associativas e distributivas. A lista completa de axiomas está abaixo:
- Lei comutativa: a+b=b+a e a b=b a.
- Lei associativa: (a+b)+c=a+(b+c) e (a b) c=a(b c).
- Lei distributiva: a(b+c)=a b+a c.
- Existência do Elemento Neutro da Adição: Existe um número “0,” chamado elemento neutro da adição, que satisfaz a+0=a para todos os números reais a.
- Existência do Elemento Neutro da Multiplicação: Existe um número “1,” chamado elemento neutro da multiplicação, que satisfaz a 1=a para todos os números reais a.
- Elemento Oposto da Adição: Para todo número real a , existe um número real -a , chamado elemento oposto da adição de a , que satisfaz a+(-a)=0.
- Inverso multiplicativo: Para todo número real não nulo a , existe um número real a^{-1}, chamado inverso multiplicativo de a , que satisfaz a a^{-1}=1.
- 0 \neq 1.
Observação: O 8º axioma ” 0 \neq 1 ” pode ser substituído pela suposição “existe um número real não nulo”. Nenhuma dessas afirmações pode ser provada sem a outra, uma vez que o caso de todos os números serem 0 é consistente com os outros 7 axiomas. Estritamente falando, os números reais requerem mais suposições estruturais para distingui-los de outros conjuntos que satisfazem os 8 axiomas. Essa estrutura adicional não é relevante para este artigo e, portanto, é omitida.
2. Um Teorema Importante
Um teorema importante que pode ser demonstrado diretamente dos axiomas é que multiplicar qualquer número real por 0 produz 0 como resultado.
Teorema 1: Para todo número real x, a seguinte equação é verdadeira: $$ 0 \times x = 0.$$
Demonstração: Seja x um número real específico. Queremos provar que 0 x=0. Sabemos do axioma 4 que: $$ 1+0=1 $$ Multiplicando ambos os lados por x, obtemos: $$ x(1+0)=x \cdot 1 $$ Usando a lei distributiva, obtemos: $$ x \cdot 1+x \cdot 0=x \cdot 1 $$ Usando o fato de que x \cdot 1=x, obtemos: $$ x+x \cdot 0=x $$ Adicionando -x aos dois lados, obtemos: $$ -x+(x+x \cdot 0)=-x+x $$ Usando a lei associativa: $$ (-x+x)+x \cdot 0=-x+x $$ Usando o fato de que -x+x=0, obtemos: $$ 0+x \cdot 0=0 $$ Usando o fato de que 0+x \cdot 0=x \cdot 0, obtemos: $$ x \cdot 0=0 $$ Usando a lei comutativa x \cdot 0=0 \cdot x, provamos que 0 x=0.
3. Uma Análise mais atenta do Axioma do Inverso Multiplicativo
Imediatamente, nota-se uma assimetria na forma como os axiomas do elemento oposto da adição e o inverso multiplicativo são declarados (axiomas 6 e 7 na lista acima). O axioma do inverso aditivo é válido para todos os números reais, enquanto o axioma do inverso multiplicativo é válido apenas para todos os números reais não nulos.
Por que o zero é excluído?
Vamos observar mais de perto.
3.1. Subtração e divisão definidas como operações inversas
Os axiomas são declarados em termos de operações de adição e multiplicação. As operações de subtração e divisão são definidas após a declaração dos axiomas. Aqui estão as definições padrão:
- Subtração: Para dois números reais a, b, a subtração a-b é definida como a+-b.
- Divisão: Para dois números reais a, b, com b não nulo, a divisão a / b é definida como a b^{-1}.
Em particular, 1 / 2 é definido como 2^{-1} e 1 / 5 é definido como 5^{-1}. Assim, 1 / 0 não é definido simplesmente porque não existe 0^{-1}. Ou seja, zero não é definido como tendo um inverso multiplicativo.
Como exemplo, se b d \neq 0, então a expressão \dfrac{a d+b c}{b d} é definida como: $$ \frac{a d+b c}{b d}=(a d+b c)(b d)^{-1} $$
Esta é a multiplicação do “numerador” (a d+b c) e o inverso multiplicativo do “denominador” b d. O valor (b d)^{-1} é bem definido, pois assume-se que b d é não nulo.
Pode ser provado a partir dos axiomas que b d \neq 0 se e somente se b \neq 0 e d \neq 0. Assim, se b d \neq 0, então ambos b^{-1} e d^{-1} existem.
Isso pode ser usado para derivar regras padrão para manipulação de frações, como: $$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a d+b c}{b d} $$ que é válido se b \neq 0 e d \neq 0 (caso contrário, uma ou mais das expressões não são definidas). Outra regra padrão é: $$ \frac{1}{\frac{b}{c}}=\frac{c}{b}$$ que é válido se b \neq 0 e c \neq 0 (caso contrário, uma ou mais das expressões não são definidas).
4. A contradição se 0^{-1} for definido
A partir da definição da divisão, as seguintes perguntas são equivalentes:
- Por que não podemos dividir por zero?
- Por que a expressão a / b é indefinida se b=0?
- Por que a expressão 1 / b é indefinida se b=0?
- Por que o zero não tem um inverso multiplicativo?
Vamos nos concentrar na última pergunta. Por que não definimos um número específico como o inverso multiplicativo de 0? Suponhamos que escolhemos um número real específico z que definimos como o inverso multiplicativo de 0, de modo que z=0^{-1}. Assim, pela definição de inverso multiplicativo: $$ 0 z=1 $$
No entanto, também sabemos do Teorema 1 que 0 z=0. Isso implica que 1=0, uma contradição. Portanto, não podemos atribuir nenhum número real como 0^{-1} sem chegar a uma contradição em nossos fatos preestabelecidos.
4.1. Vamos fazer de z um número não real
Poderíamos definir z=0^{-1} como um novo símbolo, não um número real. Mas, nesse caso, devemos admitir que esse novo símbolo z pode não obedecer às regras da aritmética que os números reais obedecem.
Uma vez que admitimos que z pode não obedecer às regras da aritmética, temos a tarefa complicada de descobrir quais regras ele satisfaz sem levar a uma contradição. Mesmo que fizéssemos isso, teríamos que encontrar uma razão para introduzir esse número z. Qual é a utilidade dele?
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Como não há utilidade aparente para tal número não real z, é mais fácil evitar tentar defini-lo. Então, simplesmente admitimos que 0 não tem um inverso multiplicativo.
5. Uma Razão Intuitiva Para a Divisão por zero não existir
Aqui está uma razão intuitiva pela qual 0 não deve ter um inverso multiplicativo: uma operação reversível deve ser “reversível” no seguinte sentido:
Se eu pegar um número x e multiplicar por 5, obtenho 5 x. Eu posso “reverter isso” multiplicando por 5^{-1} (ou seja, dividindo por 5) para obter x de volta. Multiplicar por 5 não perde nenhuma informação sobre o número original x. Por exemplo, se x é desconhecido, mas eu digo que multiplico x por 5 e o resultado é 10, você pode determinar o que x era apenas resolvendo a equação 5 x=10. As operações reversíveis de multiplicar e dividir por 5 são como uma máquina de fotocópias que encolhe ou expande um documento por um fator de 5, dependendo de qual botão é pressionado. Podemos encolher e expandir quantas vezes quisermos, sem perda de informação.
Agora, pegue um número desconhecido x e multiplique por 0. O resultado é 0. Eu não posso recuperar x, tudo o que tenho é 0. A equação 0 x=0 não oferece nenhuma informação sobre x. Multiplicar por 0 é uma operação não inversível! Não podemos voltar multiplicando por “0”.
Limites: Um número dividido por zero não é igual a infinito
Pode-se mostrar que se n é um número não nulo, então (1 / n)^{-1}=n. Agora, deixe n ser um número positivo muito grande. Intuitivamente, entendemos que 1 / n se aproxima de 0 à medida que n aumenta para \infty.
Assim, intuitivamente esperamos que (1 / n)^{-1} se aproxime de 0^{-1} à medida que n aumenta para \infty (assumindo que 0^{-1} é definido de alguma forma).
Mas (1 / n)^{-1}=n, que tem um limite de \infty à medida que n aumenta para \infty. Isso sugere que 0^{-1}=\infty.
Se esse argumento o convence a definir 0^{-1} como o número não real \infty, pense novamente.
Por um argumento semelhante, temos que 1 / n se aproxima de 0 à medida que n diminui para -\infty (como quando n é escolhido como -10000 e depois -1000000000). Assim, intuitivamente, espera-se que (1 / n)^{-1} se aproxime de 0^{-1} à medida que n diminui para -\infty.
No entanto, (1 / n)^{-1}=n tem um limite de -\infty à medida que n diminui para -\infty. Isso sugere que 0^{-1}=-\infty. Como 0^{-1} pode ser tanto \infty quanto -\infty?
Referências:
1) Michael J. Neely – “Why we cannot divide by zero”
2) Ian Stewart – “Almanaque das Curiosidades Matemáticas”.