Curvas no Espaço | 1ª Lista de Exercícios Resolvidos

Comumente ma função de uma variável a valores no \mathbb{R}^n é denominada curva parametrizada. Assim, uma função $$f(t)=(x_1(t), x_2(t),…,x_n(t))\;\;\;\;t\in \mathbb{R}$$ é uma curva e as funções reais x_i(t),\; i=1,...,n, são as equações paramétricas da curva e t é chamado de parâmetro.

Porém, com mais acuidade matemática definimos como curva o conjunto de todos os pontos (x(t), y(t), z(t)) do espaço determinados por uma função vetorial de uma variável.

Nesse artigo queremos apresentar uma primeira lista de exercícios resolvidos sobre o tema.

Curvas no Espaço | 1ª Exercícios Resolvidos

1) Calcular os seguintes limites das funções vetoriais de uma variável.

a) \lim_{t \rightarrow \pi}\left( \cos t, t^2 , -5 \right) = (-1, \pi ^2, -5)

b) \lim_{t \rightarrow 2}\left( \frac{t^2 -4}{t-2}, 1 \right) = \left( \lim_{t \rightarrow 2}\frac{t^2 -4}{t-2}, \lim_{t \rightarrow 2}1 \right) = (4,1)

c) \lim_{t \rightarrow 0}\left( \frac{2^t -1}{t}, 2^t-1, t \right) = \left( \lim_{t \rightarrow 0} \frac{2^t -1}{t}, \lim_{t \rightarrow 0} (2^t-1), \lim_{t \rightarrow 0}t \right) = (ln(2),0,0)

2) Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados.

a) F(t) = \left\{ \begin{array}{rl} \frac{|t-3|}{t-3}i+t^2j, & t\neq 3\\0,& t=3\\\end{array} \right.

em t=0 e t=3.

Como \lim_{t \rightarrow 0}{ \frac{|t-3|}{t-3}i+t^2j} = (-1,0) = F(0), então a função é contínua nesse ponto.

No caso de t=3, como não existe $$lim_{t \rightarrow 3}{\frac{|t-3|}{t-3}}$$ então a função não pode ser contínua nesse ponto.

b) F(t) = \left\{ \begin{array}{rl}t \sin{ \frac{1}{t}}i+\cos{t}j, & t\neq 0\\(0,1),& t=0\\\end{array} \right.

em t=0.

Como \lim_{t \rightarrow 0}{ t \sin{ \frac{1}{t}}i+\cos{t}j} = (0,1) = F(0), então a função é contínua nesse ponto.

3) A função vetorial $$F(t) = \left( e^{-t}\cos{t}, e^{-t}\sin{t} \right)$$ é a parametrização de uma curva conhecida como espiral logaritmica. Para esta função, determine:

a) O domínio e a imagem de F(t). D_{F} = \mathbb{R}

b) \lim_{t\rightarrow +\infty}{F(t)}. 

\lim_{t\rightarrow +\infty}\left( e^{-t}\cos{t}, e^{-t}\sin{t} \right) = (0,0), pois em cada função componente o limite é uma consequência do teorema do confronto.

c) F'(t) e \lim_{t\rightarrow +\infty}{F'(t)}

F'(t) = \left( -e^{-t}\cos{t} - e^{-t}\sin{t},  e^{-t}\cos{t} - e^{-t}\sin{t}\right) e \lim_{t\rightarrow +\infty}{ \left( -e^{-t}\cos{t} - e^{-t}\sin{t},  e^{-t}\cos{t} - e^{-t}\sin{t}\right) }= (0,0), pelo mesma consequência do teorema do confronto usado no item anterior.

d) \left\| F'(t) \right\|

\left\| F'(t) \right\| = \left\| \left( -e^{-t}\cos{t} - e^{-t}\sin{t},  e^{-t}\cos{t} - e^{-t}\sin{t}\right) \right\| = \sqrt{2} e^{-t}

e) \lim_{s\rightarrow +\infty}{\int^{s}_{0}{\left\| F'(t)\right\| dt}}

\lim_{s\rightarrow +\infty}{\int^{s}_{0}{\left\| F'(t)\right\| dt}} = \lim_{s\rightarrow +\infty}{\int^{s}_{0}{\sqrt{2} e^{-t} dt}} = \sqrt{2}

4) Considere a curva F(t) = \left( \sqrt[4]{t}, \frac{ - \ln{t}}{t^2}, t\sqrt{1+t^2} \right) para t\neq 0 e F(0)=(0,0,0):

a) Encontre o domínio de F(t). D_{F} = \mathbb{R}

b) Calcule \lim_{t\rightarrow 0}{F(t)}. 

Como \lim_{t\rightarrow 0}{F(t)} = \lim_{t\rightarrow 0} \left( \sqrt[4]{t}, \frac{ - \ln{t}}{t^2}, t\sqrt{1+t^2} \right) = \left(0, \lim_{t\rightarrow 0} \frac{ - \ln{t}}{t^2},0 \right) e $$\lim_{t\rightarrow 0} \frac{ – \ln{t}}{t^2} = – \infty$$ então dizemos que \lim_{t\rightarrow 0}{F(t)} diverge.

c) F(t) é contínua para t=0? E para t\neq 0?

O intervalo de continuidade de F(t) é t >0.

d) Calcule a derivada de F(t).

F'(t) = \left( \frac{1}{4} t^{-3/4}, \frac{-2}{t}ln(t) + t^{-3}, \sqrt{1+t^2} + \frac{2t^2}{2 \sqrt{1+t^2}}\right)

e) Calcule a integral de F(t).

$$\int{ F(t) dt} = \int{ \left( \sqrt[4]{t}, \frac{ – \ln{t}}{t^2}, t\sqrt{1+t^2} \right)}dt = \left( \int{\sqrt[4]{t}}dt, \int{\frac{ – \ln{t}}{t^2}}dt, \int{t\sqrt{1+t^2}}dt \right) = $$ $$=\left( \frac{4t^{5/4}}{5}, -2t^{-3}(ln(t) +1/3), \frac{1}{3} (1+t^2)^{3/2}.\right)$$

f) Encontre a reta tangente à curva no ponto (1,0,\sqrt{2})

Como F(1) = (1,0,\sqrt{2}), F'(1) = (\frac{1}{4},1,\frac{3\sqrt{2}}{2}) então a equação da reta é dada por: $$(x,y,z) = (1,0,\sqrt{2}) + t \left( \frac{1}{4},1,\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\;\;\;t \in \mathbb{R}.$$

5) Considere a curva \gamma (t) = \left( \frac{\sin{t}}{2}, \frac{\cos{t}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right). Mostre que esta curva está sobre a esfera unitária com centro na origem.

A esfera unitária com centro na origem tem equação dada por $$x^2 +y^2 +z^2 = 1.$$

Logo, substituindo \gamma (t) = \left( \frac{\sin{t}}{2}, \frac{\cos{t}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) nessa equação, obtemos

$$ \left( \frac{\sin{t}}{2}\right)^2 + \left( \frac{\cos{t}}{2} \right)^2 + \left(  \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 1 \Leftrightarrow 1=1,$$ que é uma verdade. Logo, a curva está sobre a esfera unitária com centro na origem.

6) O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser expresso pela função vetorial $$r(t) = \left( \frac{1-\cos{t}}{m} , 2t + \frac{t-\sin{t}}{m} \right),$$ onde m é a massa do besouro. Determinar a posição do besouro no instante t=0 e t= \pi. Qual a distância percorrida e a velocidade escalar do movimento neste intervalo entre os instantes t=0 e t= \pi?

No instante t=0: $$r(0) = \left( \frac{1-1}{m} , 2.0 + \frac{0-\sin{0}}{m} \right) = (0,0).$$

Já no instante t= \pi: $$r(\pi) = \left( 2/m , 2 \pi +\pi/m \right).$$

A distância percorrida os instantes t=0 e t= \pi é dada por $$s = \int_{0}^{\pi} \left\| r'(t) \right\| dt = \int_{0}^{\pi} \sqrt{ \frac{5m^2 -2m+1}{m^2} +\frac{2m-2}{m^2} cos(t)} dt$$ e a velocidade escalar do movimento é dada por $$s'(t) = \sqrt{ \frac{5m^2 -2m+1}{m^2} +\frac{2m-2}{m^2} cos(t)}$$

7) Escreva a parametrização da circunferência centrada na origem, com raio igual a R=3 que está sobre o plano x=2.

A parametrização é dada por $$\gamma (t) = (2, 3cos(t), 3sen(t)).$$

8) Escreva a parametrização da curva dada pela interseção das superfícies x+y=2 e x^2+y^2+z^2 = 4.

A interseção das superfícies x+y=2 e x^2+y^2+z^2 = 4 é dada pela curva de equação $$\frac{(y-1)^2}{1}+\frac{z^2}{2} = 1,$$ ou seja, a elipse centrada em (0,1,0), sobre o plano yOz e com eixo maior sobre eixo y:

$$\gamma (t) = (0, 1+cos(t), \sqrt{2} sen(t)).$$

9) Estabeleça a função comprimento de arco da curva dada:

a) \gamma (t) = (2t-1, t+1)

A função comprimento de arco, que mede o comprimento da curva no intervalo [a,b]

$$s(t) = \int_{a}^{t}\left\| r'(t) \right\| dt = \int_{a}^{t}{\sqrt{5}dt}= \sqrt{5}(t-a)$$

b) \gamma (t) = (2 cos(t), 2 sen(t), t)

A função comprimento de arco, que mede o comprimento da curva no intervalo [a,b]

$$s(t) = \int_{a}^{t}\left\| r'(t) \right\| dt = \int_{a}^{t}{\sqrt{5}dt}= \sqrt{5}(t-a)$$

c) \gamma (t) = (\cos{t}, \sin{t}, e^{-t})

A função comprimento de arco, que mede o comprimento da curva no intervalo [a,b]

$$s(t) = \int_{a}^{t}\left\| r'(t) \right\| dt = \int_{a}^{t}{\sqrt{1+e^{-2t}}dt}= $$ $$= \frac{1}{2}\left[ ln\left(\sqrt{e^{-2t} +1} +1 \right) – ln \left(\sqrt{e^{-2t} +1} -1 \right) \right] – \sqrt{e^{-2t} +1} – $$ $$ – \frac{1}{2}\left[ ln\left(\sqrt{e^{-2a} +1} +1 \right) – ln \left(\sqrt{e^{-2a} +1} -1 \right) \right] – \sqrt{e^{-2a} +1}$$

d) \gamma (t) = (t, \ln{t})

A função comprimento de arco, que mede o comprimento da curva no intervalo [a,b]

$$s(t) = \int_{a}^{t}\left\| r'(t) \right\| dt = \int_{a}^{t}{\sqrt{1+t^{-2}}dt}= $$ $$= \frac{1}{2}\left[ ln\left(t\sqrt{t^{-2} +1} +1 \right) – ln \left(t\sqrt{t^{-2} +1} -1 \right) \right] – t\sqrt{t^{-2} +1} – $$ $$ – \frac{1}{2}\left[ ln\left(a\sqrt{a^{-2} +1} +1 \right) – ln \left(a\sqrt{a^{-2} +1} -1 \right) \right] – a\sqrt{a^{-2} +1}$$

10. Calcule o comprimento da elipse com eixos com medidas a,b>0 sobre os eixos coordenados e centrada na origem.

SOLUÇÃO: Como a parametrização da elipse $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ é dada por $$ \gamma (t) = (a cos(t), b sen(t)),$$ então o comprimento de arco dessa elipse é dada por $$ s(t) = \int_{0}^{2 \pi}{\sqrt{a^2 sen^2 (t) + b^2 cos^2 (t)} dt}.$$

11. Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado por $$\vec{r} (t) = \left(t, \frac{t}{t-2},1 \right).$$

a) Determinar a posição da partícula nos intantes t=0 e t=1.

SOLUÇÃO:  \vec{r} (0) = \left(0, 0,1 \right) e \vec{r} (0) = \left(1, -1 ,1 \right). winplo

b) Esboce a trajetória desta partícula

c) Quando t se aproxima de 2 o que ocorre com a posição da partícula?

SOLUÇÃO: $$ \lim\limits_{t \rightarrow 2}{\vec{r} (t)} = \left( \lim\limits_{t \rightarrow 2}{t}, \lim\limits_{t \rightarrow 2}{\frac{t}{t-2}}, \lim\limits_{t \rightarrow 2}{1}\right) = \left(2, \lim\limits_{t \rightarrow 2}{\frac{t}{t-2}}, 1\right).$$ Como \lim\limits_{t \rightarrow 2}{\frac{t}{t-2}} = \infty podemos dizer que a posição da partícula se aproxima, paralelamente ao eixo y, da assíntota r: x=2, \;\;\; z=1. em duas direções .

d) Determinar o vetor velocidade e o vetor aceleração em um instante t qualquer.

SOLUÇÃO:  $$\vec{v}(t) = \left( 1, \frac{-2}{(t-2)^2}, 0  \right)$$ $$\vec{a}(t) = \left( 0, \frac{4}{(t-2)^3}, 0  \right).$$

12. Identifique a curva x^2 -8y+4=0 e escreva sua parametrização.

SOLUÇÃO: Ajustando a equação para $$y = \frac{x^2}{8} + \frac{1}{2}$$ percebemos que temos uma parábola, que pode ser parametrizada como $$ \gamma (t) = \left( t, \frac{t^2}{8} + \frac{1}{2}  \right).$$

13. Determine a equação da reta tangente à curva \vec{r}(t)=(cos(t), sen(t), t^2) no ponto t_0 = \frac{\pi}{2}.

SOLUÇÃO: A equação da reta tangente é dada por $$ x= -t$$ $$y = 1$$ $$z = \frac{ \pi ^2}{4} + \pi t$$

14. Encontre a função comprimento da hélice circular $$\vec{r}(t) = (2cos(t), 2sen(t), t).$$

SOLUÇÃO: $$s(t) = \int\limits_{a}^{t}{\sqrt{(-2sen(t))^2 +(2 cos(t))^2 + 1^2} dt} = \int\limits_{a}^{t}{\sqrt{5}dt} = \sqrt{5} (t-a) $$

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