Curvas no Espaço | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos

Uma curva parametrizada é a imagem de uma função de uma variável a valores no \mathbb{R}^n. Assim, uma função $$f(t)=(x_1(t), x_2(t),…,x_n(t))\;\;\;\;t\in \mathbb{R}$$ é uma curva e as funções reais x_i(t),\; i=1,...,n, são as equações paramétricas da curva e t é chamado de parâmetro.

Porém, com mais acuidade matemática definimos como curva o conjunto de todos os pontos (x(t), y(t), z(t)) do espaço determinados por uma função vetorial de uma variável.

Nesse artigo queremos apresentar uma sétima lista de exercícios resolvidos sobre o tema que foram usados como questões de prova no segundo semestre de 2021.

Curvas no Espaço | 7ª Lista de Exercícios Resolvidos

1) Calcule o comprimento da curva \gamma (t) = (1 - cos(t), t - sen(t) ) com t \in [0, \pi] .

SOLUÇÃO: 

Observe que $$ \gamma ‘ (t) = (sen(t), 1 – cos(t) )$$ $$ \| \gamma ‘ (t) \| = \| (sen(t), 1 – cos(t) ) \| = \sqrt{2 (1 – cos(t))} $$

Portanto, $$s = \int_{0}^{ \pi}{\| \gamma ‘ (t) \| dt} = \sqrt{2} \int_{0}^{ \pi}{ \sqrt{1 – cos(t)} dt} = 2 \int_{0}^{ \pi}{ sen(t/2) dt} = 4 .$$

2) Reparametrize pelo comprimento de arco a curva \gamma (t) = (e^t cos(t), e^t sen(t) ) com t \geq 0 .

SOLUÇÃO: 

Vamos calcular o comprimento de arco s = s(t) .

Temos $$ \gamma ‘ (t) = (e^t cos(t)- e^t sen(t) , e^t cos(t) + e^t sen(t) )$$ e \| \gamma ' (t) \| = \sqrt{2} e^t , logo $$ s = s(t) = \int_{0}^{t}{\sqrt{2} e^t dt} = \sqrt{2} (e^t -1).$$

Podemos escrever $$ t = t(s) = \ln \left( \frac{s + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)  \;\;\; s \geq 0 .$$

Então, $$h(s) = \frac{s + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left( cos \left( \ln \left( \frac{s + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)  \right), sen \left( \ln \left( \frac{s + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)  \right)   \right) $$

3) Determine a equação da reta tangente à trajetória da função f(t) = (cos(t), sen(t), t) e f(\pi /3) .

SOLUÇÃO: 

Temos que $$ f(\pi /3) = (cos(\pi /3), sen(\pi /3), \pi /3) = \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2}, \pi /3  \right) $$ $$f'(t) = (-2sen(t), 2 cos(t), 1) $$ $$ f'( \pi /3 ) = (-2sen( \pi /3), 2 cos( \pi /3)) = \left( -\sqrt{3} , 1 , 1 \right) $$

Logo, a a equação da reta tangente à trajetória é dada por $$r: (x,y,z) = \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2}, \pi /3  \right) + t \left( -\sqrt{3} , 1 , 1 \right). $$

4) Mostre que os vetores velocidade e aceleração do movimento helicoidal de uma partícula dada por P(t) = (r cos ( \omega t), r sen( \omega t), \alpha t ) têm comprimentos constantes.

SOLUÇÃO:

Os vetores velocidade e aceleração são dados respectivamente por $$ \vec{v} (t) = P'(t) = (-r \omega sen ( \omega t), r \omega cos( \omega t), \alpha )$$ $$ \vec{a} (t) = P´´(t) = (-r \omega^2 cos ( \omega t), -r \omega^2 sen ( \omega t), 0 ). $$

Logo, como $$ \| \vec{v} (t) \| = \| P'(t) \|  = \sqrt{r^2 \omega ^2 + \alpha ^2} $$ $$\| \vec{a} (t) \| = \| P´´(t) \|  = r \omega ,$$ os tamanhos dos vetores independem da variável t, logo, eles têm comprimentos constantes.

5) Estabeleça as parametrizações nos sentidos positivo e negativo (e esboce graficamente) da elipse dada por $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 .$$

SOLUÇÃO:

No sentido positivo, a parametrização é a usual de uma elipse centrada na origem: $$f(t) = (2 cos(t) , 3 sen (t)).$$

Usando a fórmula $$ f^{-} (t) = f(a+b -t)=(x(a+b -t), y(a+b -t)); t \in [a,b]$$ encontramos como parametrização no sentido negativo desta elipse:

$$ f^{-} (t) = f(2 \pi -t)=(2 (cos (2 \pi -t), 3 sen (2 \pi -t)) = (2 (cos (t), -3 sen (t)) ; t \in [0, 2 \pi].$$

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