Curvas | Limite e Continuidade de uma Função Vetorial

Nesse artigo queremos desenvolver os conceitos de limite e continuidade para uma função vetorial, ou seja, uma função de uma variável a valores vetoriais, também conhecida como curva.

Uma função de uma variável a valores em \mathbb{R}^n é uma função F:A \rightarrow \mathbb{R}^n, onde A é um subconjunto de \mathbb{R}.

Esta função associa a cada t \in \mathbb{R} um vetor do \mathbb{R}^n.

O conjunto A é o domínio da função F, que consideraremos sempre como um intervalo ou uma união de intervalos, e notado por D_F.

O conjunto $$ImF=\left\{F(t) \in \mathbb{R}^n ; t \in D_F \right\}$$ é a imagem ou a trajetória de F.

Esta função é, por muitas vezes, denominada de função vetorial ou curva.

Limite de Uma Função Vetorial

Diz-se que F(t)=\left( F_1(t), F_2(t),..., F_n(t) \right)possui limite igual a P=(x_0, x_1, ..., x_n)se cada função componente F_i (t) de F(t) possui limite igual a x_i para i=1,...,n.

EXEMPLO

Considere F(t)=\left( \frac{\sin t}{t}, t^2 +3 \right).

Desta forma, podemos facilmente calcular \lim_{t \rightarrow 0}F(t).

Como, pelo Primeiro Limite Fundamental, $$\lim_{t \rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=1$$ e a função $$g(t) = t^2 +3$$ é contínua em t=0, então podemos concluir que

$$\lim_{t \rightarrow 0}F(t)= \left( \frac{\sin t}{t}, t^2 +3 \right) = \left( 1, 3 \right).$$

EXEMPLO 

Considere F(t)=\left( \cos t, \sin t , t \right).

Desta forma, facilmente verificamos que $$\lim_{t \rightarrow 0}F(t)=(1,0,0).$$

Agora, vamos calcular $$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}.$$

Para responder esse segundo item, usaremos as propriedades e as operações algébricas das funções vetoriais desenvolvidas nesse artigo.

Observe que $$ \frac{F(t+h)-F(t)}{h} = \left(\frac{cos(t+h)-cos(t)}{h}, \frac{sen(t+h)-sen(t)}{h}, \frac{(t+h)-(t)}{h} \right).$$ Observe que cada função componente nesse caso é uma função escalar, ou seja, de uma variável real.

Desta forma, lembrando que

$$\lim_{t \rightarrow 0}\frac{cos(t+h)-cos(t)}{h} = cos'(t) = -sen(t),$$ $$\lim_{t \rightarrow 0}\frac{sen(t+h)-sen(t)}{h} = sen'(t) = cos(t),$$ e $$\lim_{t \rightarrow 0}\frac{(t+h)-(t)}{h} = (t)’ = 1,$$ podemos concluir que $$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}= (-sen(t), cos(t), 1)$$

Propriedades do Limite de Função Vetorial

Sejam F(t)e G(t)duas funções vetoriais e f(t)uma função real definidas num mesmo intervalo.

Se $$\lim_{t \rightarrow t_0} F(t) = a, \;\; \lim_{t \rightarrow t_0} G(t) = b\;\;e\;\;\lim_{t \rightarrow t_0} f(t) = m,$$ com a,b \in \mathbb{R} ^ne m \in \mathbb{R} então:

1. \lim_{t \rightarrow t_0} \left[ F(t) \pm G(t) \right] = a\pm b;
2. \lim_{t \rightarrow t_0} \left[ F(t) . G(t) \right] = a . b;
3. \lim_{t \rightarrow t_0} \left[ F(t) \wedge G(t) \right] = a\wedge b
4. \lim_{t \rightarrow t_0} \left[ h(t) F(t) \right] = mb

A Continuidade de uma Função Vetorial

Uma função vetorial F(t)é contínua num ponto t_0 \in \mathbb{R}se $$\lim_{t \rightarrow t_0} F(t) = F(t_0).$$

Do limite de funções vetoriais podemos concluir que uma função vetorial F(t)é contínua se cada uma de suas componentes, F_i for contínua.

OBSERVAÇÃO

Uma observação óbvia, mas necessária, nos diz que F(t) NÃO é contínua num ponto t_0 \in \mathbb{R} se uma das três alternativas abaixo for verdadeira:

1. t_0 não está no domínio da função vetorial;
2. O limite \lim_{t \rightarrow t_0} F(t) não existe;
3. \lim_{t \rightarrow t_0} F(t) \neq F(t_0).

EXEMPLO

 Como cada uma das funções componentes de $$F(t)=\left( \cos t, \sin t , t \right)$$ é uma função contínua para todo t \in \mathbb{R}, então podemos afirmar que a função vetorial é, também, contínua para todo t \in \mathbb{R}.

EXEMPLO

A função vetorial F(t)=\left( \frac{\sin t}{t}, t^2 +3 \right)é contínua para t=0?

Note que F(t)=\left( \dfrac{\sin t}{t}, t^2 +3 \right) não é contínua para t=0, pois apesar de $$\lim_{t \rightarrow 0}F(t)= \left( 1, 3 \right),$$ t=0 não pertence ao domínio de F(t)

EXEMPLO

 Indique o intervalo de continuidade da função vetorial $$G(t) = \left( \frac{1}{t}, \ln{t}, t^2 \right).$$

Observe que:

1. \dfrac{1}{t} é continua para t \neq 0
2. \ln{t} é contínua para t > 0
3. t^2 é contínua para todo t \in \mathbb{R}

Logo, G(t) = \left( \dfrac{1}{t}, \ln{t}, t^2 \right) é contínua para todo t>0.

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